三角関数とは
三角関数 (英:trigonometric function) とは、三角法において角の大きさと線分の長さの関係を表す関数のこと。
三角関数の性質
周期性
+ 90° |
+ 180° |
+ 270° |
+ 360° |
sin(θ+21π)=+cosθ |
sin(θ+π)=−sinθ |
sin(θ+23π)=−cosθ |
sin(θ+2π)=+sinθ |
cos(θ+21π)=−sinθ |
cos(θ+π)=−cosθ |
cos(θ+23π)=+sinθ |
cos(θ+2π)=+cosθ |
tan(θ+21π)=−sinθcosθ |
tan(θ+π)=tanθ |
tan(θ+23π)=−sinθcosθ |
tan(θ+2π)=tanθ |
還元公式
負角:
sin(−θ)cos(−θ)tan(−θ)=−sinθ=cosθ=−tanθ
余角:
sin(2π−θ)cos(2π−θ)tan(2π−θ)=cosθ=sinθ=tanθ1
補角:
sin(π−θ)cos(π−θ)tan(π−θ)=sinθ=−cosθ=−tanθ
変換公式
|
sinθ |
cosθ |
tanθ |
sinθ= |
- |
±1−cos2θ |
±1+tan2θtanθ |
cosθ= |
±1−sin2θ |
- |
±1+tan2θ1 |
tanθ= |
±1−sin2θsinθ |
±cosθ1−cos2θ |
- |
各変換公式の導出:
sinθ=±1−cos2θ :
cos2θ+sin2θsin2θ∴sinθ=1=1−cos2θ=±1−cos2θ
sinθ=±1+tan2θtanθ :
cos2θ+sin2θtan2θsin2θ+sin2θsin2θ∴sinθ=1=1=1+tan2θtan2θ=±1+tan2θtanθ
cosθ=±1−sin2θ :
cos2θ+sin2θcos2θ∴cosθ=1=1−sin2θ=±1−sin2θ
cosθ=±1+tan2θ1 :
cos2θ+sin2θcos2θ+cos2θtan2θcos2θ∴cosθ=1=1=1+tan2θ1=±1+tan2θ1
tanθ=±1−sin2θsinθ :
cos2θ+sin2θtan2θsin2θ+sin2θtan2θ∴tanθ=1=1=1−sin2θsin2θ=±1−sin2θsinθ
tanθ=±cosθ1−cos2θ :
cos2θ+sin2θcos2θ+cos2θtan2θtan2θ∴tanθ=1=1=cos2θ1−cos2θ=±cosθ1−cos2θ
三角関数の加法定理
余弦関数の加法定理正弦関数の加法定理正接関数の加法定理:cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ∫:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ∫:tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ
余弦の加法定理の証明:
余弦定理により、
AB2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos(α−β)=2−2cos(α−β)
ピタゴラスの定理により、
AB2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=cos2α+cos2β−2cosαcosβ+sin2α+sin2β−2sinαsinβ=(cos2α+sin2α)+(cos2β+sin2β)−2cosαcosβ−2sinαsinβ=2−2cosαcosβ−2sinαsinβ
AB2 を共に求めていることから、
2−2cos(α−β)=2−2cosαcosβ−2sinαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ(1)
(1) の β を −β′ とすると、
cos(α−(−β′))=cosαcos(−β′)+sinαsin(−β′)
cos(α+β′)=cosαcosβ′−sinαsinβ′(2)
(1),(2) により、
∴cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
正弦の加法定理の証明:
余弦の加法定理の β を β′+21π とすると、
cos[α−(β′+21π)]cos[(α−β′)−21π]sin(α−β′)=cosαcos(β′+21π)+sinαsin(β′+21π)=cosαcos(β′+21π)+sinαsin(β′+21π)=cosα(−sinβ′)+sinαcosβ′
sin(α−β′)=sinαcosβ′−cosαsinβ′(1)
(1) の β′ を −β′′ とすると、
sin(α−(−β′′))=sinαcos(−β′′)−cosαsin(−β′′)
sin(α+β′′)=sinαcos(β′′)+cosαsinβ′′(2)
(1),(2) により、
∴sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
正接の加法定理の証明:
余弦の加法定理と正弦の加法定理により、
tan(α+β)=cos(α+β)sin(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ=1−sinαsinβ/cosαcosβsinα/cosα+sinβ/cosβ
tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ(1)
(1) の β を −β′ とすると、
tan[α+(−β′)]=1−tanαtan(−β′)tanα+tan(−β′)
tan(α−β′)=1+tanαtanβ′tanα−tanβ′(2)
(1),(2) により、
∴tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ
三角関数の積和の公式
余弦関数と正弦関数の積余弦関数同士の積正弦関数同士の積:cosαsinβ=21(sin(α+β)−sin(α−β)):sinαcosβ=21(sin(α+β)+sin(α−β)):cosαcosβ=21(cos(α+β)+cos(α−β)):sinαsinβ=−21(cos(α+β)−cos(α−β))
余弦関数と正弦関数の積:
三角関数の加法定理より、
sin(α±β)sin(α+β)+sin(α−β)sin(α+β)−sin(α−β)∴sinαcosβcosαsinβ=sinαcosβ±cosαsinβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)+(sinαcosβ−cosαsinβ)=2sinαcosβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)−(sinαcosβ−cosαsinβ)=2cosαsinβ=21(sin(α+β)+sin(α−β))=21(sin(α+β)−sin(α−β))
余弦関数同士の積:
三角関数の加法定理より、
cos(α±β)cos(α+β)+cos(α−β)∴cosαcosβ=cosαcosβ∓sinαsinβ=(cosαcosβ−sinαsinβ)+(cosαcosβ+sinαsinβ)=2cosαcosβ=21(cos(α+β)+cos(α−β))
正弦関数同士の積:
三角関数の加法定理より、
cos(α±β)cos(α+β)−cos(α−β)∴sinαsinβ=cosαcosβ∓sinαsinβ=(cosαcosβ−sinαsinβ)−(cosαcosβ+sinαsinβ)=−2sinαsinβ=−21(cos(α+β)−cos(α−β))
三角関数の和積の公式
余弦関数同士の和余弦関数同士の差正弦関数同士の和正弦関数同士の差:cosx+cosy=2cos2x+ycos2x−y:cosx−cosy=−2sin2x+ysin2x−y:sinx+siny=2sin2x+ycos2x−y:sinx−siny=2cos2x+ysin2x−y
余弦関数同士の和の導出:
積和の公式から、
cosαcosβ=21(cos(α+β)+cos(α−β))(1)
x=α+β, y=α−β とすると、
x+yαx−yβ=(α+β)+(α−β)=2x+y=(α+β)−(α−β)=2x−y(2)
(2) を (1) に代入すると、
cos2x+ycos2x−y∴cosx+cosy=21(cosx+cosy)=2cos2x+ycos2x−y
余弦関数同士の差の導出:
積和の公式から、
sinαsinβ=−21(cos(α+β)−cos(α−β))(1)
x=α+β, y=α−β とすると、
x+yαx−yβ=(α+β)+(α−β)=2x+y=(α+β)−(α−β)=2x−y(2)
(2) を (1) に代入すると、
sin2x+ysin2x−y∴cosx−cosy=−21(cosx−cosy)=−2sin2x+ysin2x−y
正弦関数同士の和の導出:
積和の公式から、
sinαcosβ=21(sin(α+β)+sin(α−β))(1)
x=α+β, y=α−β とすると、
x+yαx−yβ=(α+β)+(α−β)=2x+y=(α+β)−(α−β)=2x−y(2)
(2) を (1) に代入すると、
sin2x+ycos2x−y∴sinx+siny=21(sinx+siny)=2sin2x+ycos2x−y
正弦関数同士の差の導出:
積和の公式から、
cosαsinβ=21(sin(α+β)−sin(α−β))(1)
x=α+β, y=α−β とすると、
x+yαx−yβ=(α+β)+(α−β)=2x+y=(α+β)−(α−β)=2x−y(2)
(2) を (1) に代入すると、
cos2x+ysin2x−y∴sinx−siny=21(sinx−siny)=2cos2x+ysin2x−y
三角関数の微分
余弦関数の微分正弦関数の微分正接関数の微分:(cosx)′=−sinx∫:(sinx)′=cosx∫:(tanx)′=cos2x1
余弦関数の微分の導出:
(cosx)′∴(cosx)′=h→0limhcos(x+h)−cosx=h→0limhcosxcosh−sinxsinh−cosx=h→0lim[hcosx(cosh−1)−sinxhsinh]=−sinx∫=−sinx
正弦関数の微分の導出:
(sinx)′∴(sinx)′=h→0limhsin(x+h)−sinx=h→0limhsinxcosh+cosxsinh−sinx=h→0lim[hsinx(cosh−1)+cosxhsinh]=cosx∫=cosx
正接関数の微分の導出:
(tanx)′∴(tanx)′=(cosxsinx)′=cos2x(sinx)′cosx−sinx(cosx)′∵商の微分法則=cos2xcos2x+sin2x∵(sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx=cos2x1=cos2x1
三角関数の積分
余弦関数の不定積分正弦関数の不定積分正接関数の不定積分:∫cosx dx=sinx+C:∫sinx dx=−cosx+C:∫tanx dx=−ln∣cosx∣+C
余弦関数の不定積分の導出:
∫cosx dx∴∫cosx dx=∫(sinx)′ dx=sinx+C=sinx+C
正弦関数の不定積分の導出:
∫sinx dx∴∫sinx dx=∫(−cosx)′ dx=−cosx+C=−cosx+C
正接関数の不定積分の導出:
∫tanx dx∴∫tanx dx=∫cosxsinx dx=∫−cosx(cosx)′ dx=−ln∣cosx∣+C=−ln∣cosx∣+C
三角関数の直交性
余弦関数同士の積の積分正弦関数同士の積の積分余弦関数と正弦関数の積の積分:∫02πcos(mt)cos(nt) dt=πδm,n(m,n∈N≥0):∫02πsin(mt)sin(nt) dt=πδm,n(m,n∈N≥0):∫02πcos(mt)sin(nt) dt=0(m,n∈N≥0)
余弦関数同士の積の積分:
∫02πcos(mt)cos(nt) dt∴∫02πcos(mt)cos(nt) dt=21∫02πcos((m+n)t)+cos((m−n)t) dt∵三角関数の積和公式=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧21∫02πcos((m+n)t)+cos((m−n)t) dt21∫02πcos(2mt)+1 dtif m=nif m=n=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧21[m+nsin((m+n)t)+m−nsin((m−n)t)]02π21[2msin(2mt)+t]02πif m=nif m=n=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0πif m=n∫if m=n∫=πδm,n(m,n∈N≥0)
正弦関数同士の積の積分:
∫02πsin(mt)sin(nt) dt∴∫02πsin(mt)sin(nt) dt=−21∫02πcos((m+n)t)−cos((m−n)t) dt∵三角関数の積和公式=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧−21∫02πcos((m+n)t)−cos((m−n)t) dt−21∫02πcos(2mt)−1 dtif m=nif m=n=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−21[m+nsin((m+n)t)−m−nsin((m−n)t)]02π−21[2msin(2mt)−t]02πif m=nif m=n=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0πif m=n∫if m=n∫=πδm,n(m,n∈N≥0)
余弦関数と正弦関数の積の積分:
∫02πcos(mt)sin(nt) dt∴∫02πcos(mt)sin(nt) dt=21∫02πsin((m+n)t)−sin((m−n)t) dt∵三角関数の積和公式=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧21∫02πsin((m+n)t)−sin((m−n)t) dt21∫02πsin(2mt) dtif m=nif m=n=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧21[−m+ncos((m+n)t)+m−ncos((m−n)t)]02π21[−2mcos(2mt)]02πif m=nif m=n=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧00if m=n∫if m=n∫=0(m,n∈N≥0)
三角関数のマクローリン展開
余弦関数のマクローリン展開:cosx正弦関数のマクローリン展開:sinx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1
余弦関数のマクローリン展開の導出:
cosx をマクローリン展開すると、
cosx=k=0∑∞k!cos(k)0xk=0!cos(0)0x0+1!cos(1)0x1+2!cos(2)0x2+3!cos(3)0x3+4!cos(4)0x4+⋯=1−sin0⋅x−2!cos0x2+3!sin0x3+4!cos0x4+⋯=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k(1)
ダランベールの収束判定法により、
n→∞lim∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=n→∞lim∣∣∣∣∣∣∣(2n)!(−1)nx2n(2(n+1))!(−1)n+1x2(n+1)∣∣∣∣∣∣∣=n→∞lim∣∣∣∣∣−(2n+2)P2x2∣∣∣∣∣=0(2)
(1),(2) より、
∴cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k
正弦関数のマクローリン展開の導出:
sinx=k=0∑∞k!sin(k)0xk=0!sin(0)0x0+1!sin(1)0x1+2!sin(2)0x2+3!sin(3)0x3+4!sin(4)0x4+⋯=0+cos0⋅x−2!sin0x2−3!cos0x3+4!sin0x4+⋯=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1(1)
ダランベールの収束判定法により、
n→∞lim∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=n→∞lim∣∣∣∣∣∣∣(2n+1)!(−1)nx2n+1(2(n+1)+1)!(−1)n+1x2(n+1)+1∣∣∣∣∣∣∣=n→∞lim∣∣∣∣∣−(2n+3)P2x2∣∣∣∣∣=0(2)
(1),(2) より、
∴sinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1
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