sinc関数
Contents
sinc関数
sinc関数 (英：sinc function) とは、正弦関数をその変数で割る関数のこと。sinc関数は、非正規化sinc関数と正規化sinc関数の二つの定義を持つ。当記事では、非正規化sinc関数をsinc関数の定義として取り扱う。
非正規化 sinc関数
数学では、非正規化sinc関数 (英：unnormalized sinc function) が定義として用いられる。
\[ \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} \quad (x\ne 0) \]
正規化sinc関数
デジタル信号処理、情報理論では、正規化sinc関数 (英：normalized sinc function)が定義として用いられる。
\[ \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin\pi x}{\pi x} \]
sinc関数の微分
\[ \operatorname{sinc}^\prime(x) = 1 \]
sinc関数の微分の導出：
上図から次の関係が成り立つ。
\[ \triangle{OAB}\lt 2\pi\lt\triangle{OBC} = \frac{1}{2}\sin\theta\lt\frac{1}{2}\theta\lt\frac{1}{2}\tan\theta \]
$\displaystyle \frac{1}{2}\sin x$ で割り、逆数をとると、
\[ \frac{\frac{1}{2}\sin\theta}{\frac{1}{2}\tan\theta}\lt \frac{\frac{1}{2}\sin\theta}{\frac{1}{2}\theta}\lt \frac{\frac{1}{2}\sin\theta}{\frac{1}{2}\sin\theta} = \cos\theta\lt\frac{\sin\theta}{\theta}\lt 1 \]
ここで、$x\to 0$ で極限をとると、
\[ \lim_{\theta\to 0} \cos\theta = 1 \]
よってはさみうちの原理により、
\[ \begin{aligned} \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \cr \cr \therefore \operatorname{sinc}^\prime x = 1 \end{aligned} \]