商の微分法則
Contents
呼称
- 商の微分法則 (quotient rule)
概要
微分積分学における商の微分法則とは、二つの可微分関数の商の導関数を求めるのに用いる公式。
公式
\[ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2} \]
導出
\[ \begin{aligned} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right] \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{g(x+h)g(x)} \cr &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x)-f(x)[g(x+h)-g(x)]}{g(x+h)g(x)} \cr &= \lim_{h\to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\frac{f(x)} {g(x+h)g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right] \cr &= \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2} \cr \cr \therefore \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime &= \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2} \end{aligned} \]