対数導関数
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対数導関数とは
対数導関数 (英：logarithmic derivative) とは、$\displaystyle\frac{f^\prime}{f}$ によって定義される関数のこと。真数が関数である対数の微分から得られる。
\[ \frac{f^\prime(x)}{f(x)} = \left(\ln|f(x)|\right)^\prime \quad (f(x)\in\R, ~f(x)\ne 0) \]
対数導関数の導出：
$f(x)=0$ のとき、
\[ (\ln|f(x)|)^\prime = \ln 0 \quad \text{if} ~f(x)=0 \tag{1} \]
となり、対数関数の定義を満たさない。
$f(x)\gt 0$ のとき、
\[ \begin{aligned} (\ln|f(x)|)^\prime &= (\ln f(x))^\prime \quad \text{if} ~f(x)\gt 0 \cr &= (\ln f(x))^\prime \cr &= \frac{d}{df(x)}\ln f(x)\cdot\frac{d}{dx}f(x) \cr &= \frac{f^\prime(x)}{f(x)} \end{aligned} \tag{2} \]
$f(x)\lt 0$ のとき、
\[ \begin{aligned} (\ln|f(x)|)^\prime &= (\ln -f(x))^\prime \quad \text{if} ~f(x)\lt 0 \cr &= \frac{d}{df(x)}\ln(-f(x))\cdot\frac{d}{dx}(-f(x)) \cr &= \frac{-f^\prime(x)}{-f(x)} \cr &= \frac{f^\prime(x)}{f(x)} \end{aligned} \tag{3} \]
$(1),(2),(3)$ により、
\[ \therefore \frac{f^\prime(x)}{f(x)} = (\ln|f(x)|)^\prime \quad (f(x)\in\R, ~f(x)\ne 0) \]