正則行列
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正則行列とは
正則行列 (英：regular matrix) とは、逆行列 (英：inverse matrix) が存在する正方行列のこと。非特異行列 (英：non-singular matrix) や可逆行列 (英：invertible matrix) とも呼ばれる。逆行列が存在しない正方行列を、特異行列 (英：singular matrix) という。
逆行列とは単位行列を単位元とする逆元を意味する。逆行列が存在するときその行列は正則であるという。逆行列の定義は、正則行列と対して相対的なものであるため、逆行列を正則行列と捉えれば、正則行列は逆行列と捉えられる。
\[ \def\b{\boldsymbol} \b A\b A^{-1} = \b A^{-1}\b A = \b I \]
逆行列の求め方
逆行列を求める方法はいくつか存在するが、ここでは掃き出し法 (英：row reduction) を記す。掃き出し法とは、正則行列と単位行列を組み合わせた拡大行列に対して行基本変形を行うことで、逆行列を求めようとするアルゴリズムのことである。また掃き出し法はガウスの消去法 (英：Gaussian elimination) とも呼ばれる。
\[ \def\b{\boldsymbol} \lbrack\b A\mid\b I\rbrack \rArr \lbrack\b I\mid\b A^{-1} \rbrack \]
二次正方行列を使った例：
係数拡大行列に対して、行基本変形を繰り返し、簡約化行列を得る。単位行列を組み合わせていた領域の簡約化後の行列が、逆行列となる。
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \b A &= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \\ \\ \lbrack\b A\mid\b I\rbrack &= \left\lbrack\begin{array}{cc:cc} a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \\ \end{array}\right\rbrack \\ &\quad \rArr \left\lbrack\begin{array}{cc:cc} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ c & d & 0 & 1 \\ \end{array}\right\rbrack \quad \cdots \text{1行目を}\frac{1}{a}\text{で定数倍} \\ &\quad \rArr \left\lbrack\begin{array}{cc:cc} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{ad-bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1 \\ \end{array}\right\rbrack \quad \cdots \text{1行目を}c\text{倍して2行目から引く} \\ &\quad \rArr \left\lbrack\begin{array}{cc:cc} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{array}\right\rbrack \quad \cdots \text{2行目を}\frac{a}{ad-bc}\text{で定数倍} \\ &\quad \rArr \left\lbrack\begin{array}{cc:cc} 1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{array}\right\rbrack \quad \cdots \text{2行目を}\frac{b}{a}\text{倍して1行目から引く} \\ &\qquad = \lbrack\b I\mid\b A^{-1}\rbrack \vphantom{\int} \\ \\ \b A^{-1} &= \begin{bmatrix} \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]
正則行列の積は正則行列
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} (\b A\b B)(\b A\b B)^\top = \b I \\ \\ \begin{aligned} \b A\b A^{-1} = \b A^{-1}\b A = \b I \\ \b B\b B^{-1} = \b B^{-1}\b B = \b I \end{aligned} \end{gathered} \]
正則行列の積は正則行列の証明：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} (\b A\b B)(\b A\b B)^\top &= \b A\b B\b B^\top\b A^\top \quad \because \text{積の転置行列} \\ &= \b A\b A^\top \\ &= \b I \\ \\ \therefore (\b A\b B)(\b A\b B)^\top &= \b I \\ \end{aligned} \]
転置行列の逆行列
転置行列の逆行列は、逆行列の転置行列と等しい。
\[ \def\b{\boldsymbol} (\b A^\top)^{-1} = (\b A^{-1})^\top \]
転置行列の逆行列の導出：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} (\b A^\top)^{-1} &= (\b A^{-1})^\top \\ \b A^\top(\b A^\top)^{-1} &= \b A^\top(\b A^{-1})^\top \\ &= (\b A^{-1}\b A)^\top \quad \because \text{転置行列の諸公式} \\ \b I &= \b I \\ \\ \therefore (\b A^\top)^{-1} &= (\b A^{-1})^\top \end{aligned} \]
行列式が0ではないと逆行列が存在するは同値
ある行列の行列式が $0$ でないのなら、その行列の逆行列が存在する。また反対に逆行列が存在するならば、行列式は $0$ ではない。
\[ \def\b{\boldsymbol} \exists\b A^{-1}\lrArr\det\b A\ne 0 \]
行列式が0ではないと逆行列が存在するが同値であることの証明：
行列式の積により、
\[ \begin{aligned} \det(A)\det(A^{-1}) &= \det(AA^{-1}) \cr &= \det(I) \cr &= 1 \cr \det(A) &= \frac{1}{\det(A^{-1})} \cr \cr \exist A^{-1} &\rArr \det(A)\ne 0 \end{aligned} \tag{1} \]
余因子行列の定理により、
\[ \begin{aligned} A\tilde{A} = \tilde{A}A = \det(A)I_n \quad (\det(A)\ne 0) \cr A\left(\frac{\tilde{A}}{\det(A)}\right) = \left(\frac{\tilde{A}}{\det(A)}\right)A = I_n \cr \cr \det(A)\ne 0 \rArr \exists A^{-1} \end{aligned} \tag{2} \]
$(1),(2)$ から、
\[ \therefore \exists A^{-1}\lrArr\det(A)\ne 0 \]
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参考文献
KADOKAWA (2018-03-07)
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