余因子行列とは

余因子行列 (英：cofactor matrix) とは、$i$-行 $j$-列に $(i,j)$-余因子を持つ行列を、転置した行列のこと。

$\begin{gathered} \begin{aligned} \tilde{A} &= \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \cr C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \cr \end{bmatrix} \cr &= \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \cr C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \cr \end{bmatrix}^\top \cr \end{aligned} \cr \cr C_{ij} : \text{cofactor} \end{gathered}$

余因子行列の諸定理

$\begin{aligned} \text{(C1)} &: A\tilde{A} = \tilde{A}A = \det(A)I_n \end{aligned}$

$\bold{(C1)}$ の証明：

$\begin{aligned} A\tilde{A} &= \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \cr a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \cr \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11} & \cdots & C_{j1} & \cdots & C_{n1} \cr \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \cr C_{1i} & \cdots & C_{ji} & \cdots & C_{ni} \cr \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \cr C_{1n} & \cdots & C_{jn} & \cdots & C_{nn} \cr \end{bmatrix} \cr &= \begin{bmatrix} \sum_k a_{1k}C_{1k} & \cdots & \sum_{k}a_{1k}C_{jk} & \cdots & \sum_k a_{1k}C_{nk} \cr \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \cr \sum_k a_{ik}C_{1k} & \cdots & \sum_{k}a_{ik}C_{jk} & \cdots & \sum_k a_{ik}C_{nk} \cr \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \cr \sum_k a_{nk}C_{1k} & \cdots & \sum_{k}a_{nk}C_{jk} & \cdots & \sum_k a_{nk}C_{nk} \cr \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{1}$

$A\tilde{A}$ の対角成分は、余因子展開により、

$\left.\sum_k a_{ik} C_{jk}\right|_{i=j} = \det(A) \tag{2}$

一方 $A\tilde{A}$ の非対角成分は、$A$ の $i$-行を $A$ の $j$-行に複製上書きした行列 $A^\prime$ から考える。

$A^\prime = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \cr a_{(j-1)1} & \cdots & a_{(j-1)j} & \cdots & a_{(j-1)n} \cr a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \cr a_{(j+1)1} & \cdots & a_{(j+1)j} & \cdots & a_{(j+1)n} \cr \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \cr \end{bmatrix} \quad (i\ne j)$

$A^\prime$ は $i$-行目を複製上書きしているため、同じ行が複数存在することから、

$\det(A^\prime) = 0 \quad (i\ne j) \tag{3}$

$A^\prime$ を $j$-行目で余因子展開すると、

$\det(A^\prime) = \left.\sum_{k} a_{ik}C_{jk}\right|_{i\ne j} \tag{4}$

よって $(1),(2),(3),(4)$ より、$A\tilde{A}$ は以下のように表すことができる。

$\begin{gathered} \sum_k a_{ik}C_{jk} = \begin{cases} \det(A) & \text{if }i=j \cr 0 & \text{if }i\ne j \cr \end{cases} \cr \cr \begin{aligned} A\tilde{A} &= \begin{bmatrix} \det(A) & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \det(A) & \cdots & 0 \cr \vdots & \vdots & \ddots & 0 \cr 0 & 0 & \cdots & \det(A) \cr \end{bmatrix} \cr &= \det(A)I_n \end{aligned} \end{gathered}$

また $\tilde{A}A$ も同様に求められることから、

$\therefore A\tilde{A} = \tilde{A}A = \det(A)I_n$

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