余因子展開
余因子展開 (英:cofactor expansion) とは、正方行列の行列式を小行列式の重み付き和に展開する方法のこと。余因子展開による符号付き小行列式を余因子 (英:cofactor) という。余因子展開はラプラス展開 (英:Laplace expansion) とも呼ばれる。
det(A)Cij=i=1∑naijCij(1≤j≤n) ⋯ 列の余因子展開=j=1∑naijCij(1≤i≤n) ⋯ 行の余因子展開=(−1)i+jMijCijMij:余因子:小行列式
列の余因子展開の証明:
det(A)=det(a1,…,aj,…,an)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛aj=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1j⋮a2j⋮anj⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=det(a1,…,i=1∑naije[i],…,an)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛e[i]=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡01⋮1i⋮0n⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=i=1∑ndet(a1,…,aije[i],…,an)=i=1∑naijdet(a1,…,e[i],…,an)=i=1∑naij(−1)j−1det(e[i],a1,…,aj−1,aj+1…,an)=i=1∑naij(−1)(i−1)+(j−1)det(e[1],a1,…,aj−1,aj+1…,an)=i=1∑naij(−1)i+jdet(e[1],a1,…,aj−1,aj+1…,an)(1)
総和内の行列式を切り出して考えると、
det⎣⎢⎢⎢⎢⎡c110⋮0c12c22⋮cn2⋯⋯⋱⋯c1nc2n⋮cnn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=σ∈Sn∑sgn(σ)i=1∏nciσ(i)(i≥2⇒ci1=0)=σ(1)=1∑sgn(σ)i=1∏nciσ(i)+σ(1)=1∑sgn(σ)i=1∏nciσ(i)(2)
右辺の第二項に関して、σ(1)=1 の制約により、i=1 のどこかで ciσ(i)=0 となる σ(i)=1 が存在する。そのため、右辺の第二項は必ず 0 となる。
σ(1)=1⇒σ=(1∗⋯⋯∗1⋯⋯)⇒σ(1)=1∑sgn(σ)i=1∏nciσ(i)=0(3)
続いて右辺の第一項に関して、σ(1)=1 の制約により、i=1⇒σ(i)=1 となることから、右辺第一項は必ずしも 0 にはならない。
σ(1)=1⇒(11⋯⋯∗⋯⋯∗)⇒σ(1)=1∑sgn(σ)i=1∏nciσ(i)=c11σ(1)=1∑sgn(σ)i=2∏nciσ(i)(4)
(2),(3),(4) より、
det⎣⎢⎢⎢⎢⎡c110⋮0c12c22⋮cn2⋯⋯⋱⋯c1nc2n⋮cnn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=c11σ(1)=1∑sgn(σ)i=2∏nciσ(i)=c11det⎣⎢⎢⎡c22⋮cn2⋯⋱⋯c2n⋮cnn⎦⎥⎥⎤(5)
よって、(1),(5) より、
det(A)∴det(A)=i=1∑naij(−1)i+jdet⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11⋮a(i−1)1a(i+1)1⋮an1⋯⋱⋯⋯⋱⋯a1(j−1)⋮a(i−1)(j−1)a(i+1)(j−1)⋮an(j−1)a1(j+1)⋮a(i−1)(j+1)a(i+1)(j+1)⋮an(j+1)⋯⋱⋯⋯⋱⋯a1n⋮a(i−1)na(i+1)n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=i=1∑naij(−1)i+jMij=i=1∑naijCij=i=1∑naijCij
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