余因子展開

余因子展開 (英：cofactor expansion) とは、正方行列の行列式を小行列式の重み付き和に展開する方法のこと。余因子展開による符号付き小行列式を余因子 (英：cofactor) という。余因子展開はラプラス展開 (英：Laplace expansion) とも呼ばれる。

$\begin{gathered} \begin{aligned} \det(A) &= \sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij} \quad (1\le j\le n) ~\cdots~ \text{列の余因子展開} \cr &= \sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij} \quad (1\le i\le n) ~\cdots~ \text{行の余因子展開} \cr \cr C_{ij} &= (-1)^{i+j}M_{ij} \cr \cr \end{aligned} \cr \begin{aligned} C_{ij} &: \text{余因子} \cr M_{ij} &: \text{小行列式} \cr \end{aligned} \end{gathered}$

列の余因子展開の証明：

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \det(A) &= \det(\b{a}_1,\ldots,\b{a}_j,\ldots,\b{a}_n) \quad \left(\b{a}_{j} = \begin{bmatrix} a_{1j} \cr \vdots \cr a_{2j} \cr \vdots \cr a_{nj} \cr \end{bmatrix}\right) \cr &= \det\left(\b{a}_1,\ldots,\sum_{i=1}^n a_{ij}\b{e}^{[i]},\ldots,\b{a}_n\right) \quad \left(\b{e}^{[i]} = \begin{bmatrix} 0_1 \cr \vdots \cr 1_i \cr \vdots \cr 0_n \cr \end{bmatrix}\right) \cr &= \sum_{i=1}^n \det\left(\b{a}_1,\ldots,a_{ij}\b{e}^{[i]},\ldots,\b{a}_n\right) \cr &= \sum_{i=1}^n a_{ij}\det\left(\b{a}_1,\ldots,\b{e}^{[i]},\ldots,\b{a}_n\right) \cr &= \sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{j-1}\det\left(\b{e}^{[i]},\b{a}_1,\ldots,\b{a}_{j-1},\b{a}_{j+1}\ldots,\b{a}_n\right) \cr &= \sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{(i-1)+(j-1)}\det\left(\b{e}^{[1]},\b{a}_1,\ldots,\b{a}_{j-1},\b{a}_{j+1}\ldots,\b{a}_n\right) \cr &= \sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j}\det\left(\b{e}^{[1]},\b{a}_1,\ldots,\b{a}_{j-1},\b{a}_{j+1}\ldots,\b{a}_n\right) \cr \end{aligned} \tag{1}$

総和内の行列式を切り出して考えると、

$\begin{aligned} & \det\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \cr 0 & c_{22} & \cdots & c_{2n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} \cr &\quad = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i\sigma(i)} \quad (i\ge 2\rArr c_{i1}=0) \cr &\quad = \sum_{\sigma(1)=1}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i\sigma(i)} + \sum_{\sigma(1)\ne 1}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i\sigma(i)} \cr \end{aligned} \tag{2}$

右辺の第二項に関して、$\sigma(1)\ne 1$ の制約により、$i\ne 1$ のどこかで $c_{i\sigma(i)}=0$ となる $\sigma(i)=1$ が存在する。そのため、右辺の第二項は必ず $0$ となる。

$\begin{aligned} \sigma(1)\ne 1 &\rArr \sigma = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & \ast & \cdots \cr \ast & \cdots & 1 & \cdots \cr \end{pmatrix} \cr &\rArr \sum_{\sigma(1)\ne 1}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i\sigma(i)} = 0 \end{aligned} \tag{3}$

続いて右辺の第一項に関して、$\sigma(1)= 1$ の制約により、$i\ne 1\rArr\sigma(i)\ne 1$ となることから、右辺第一項は必ずしも $0$ にはならない。

$\begin{aligned} \sigma(1)=1 &\rArr \begin{pmatrix} 1 & \cdots & \ast & \cdots \cr 1 & \cdots & \cdots & \ast \cr \end{pmatrix} \cr &\rArr \sum_{\sigma(1)=1}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i\sigma(i)} \cr &\qquad = c_{11}\sum_{\sigma(1)=1}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=2}^n c_{i\sigma(i)} \end{aligned} \tag{4}$

$(2),(3),(4)$ より、

$\begin{aligned} & \det\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \cr 0 & c_{22} & \cdots & c_{2n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} \cr &\quad = c_{11}\sum_{\sigma(1)=1}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=2}^n c_{i\sigma(i)} \cr &\quad = c_{11}\det\begin{bmatrix} c_{22} & \cdots & c_{2n} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} \cr \end{aligned} \tag{5}$

よって、$(1),(5)$ より、

$\begin{aligned} \det(A) &= \sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j}\det\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \cr \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \cr a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \cr \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cr a_{n1} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \cr \end{bmatrix} \cr &= \sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij} \cr &= \sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij} \cr \cr \therefore \det(A) &= \sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij} \cr \end{aligned}$

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