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単位行列

#線型代数学

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単位行列とは

単位行列 (英：identity matrix) とは、対角成分が $1$ である対角行列のこと。$n$-次単位行列は一般に $\boldsymbol I_n$ と表される。

\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \b I_n &= \operatorname{diag}(\underbrace{1,1,\ldots, 1}_{n\text{ times}}) \\ &= (\delta_{i,j}) \\ \\ \delta_{i,j} &: \text{クロネッカーのデルタ} \end{aligned} \]

単位行列の行列式

単位行列の行列式は $1$ 。

\[ \det(\boldsymbol I_n) = 1 \]


単位行列の行列式の導出：

対角行列の行列式から、

\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \begin{aligned} \det(\b I_n) &= \det(\mathrm{diag}(\overbrace{1,1,\ldots,1}^{n})) \cr &= \prod_{i}^n 1 \cr &= 1 \cr \end{aligned} \cr \cr \therefore \det(\b I_n) = 1 \end{gathered} \]

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