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対角行列

#線型代数学

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対角行列とは

対角成分のみが非ゼロである正方行列を対角行列 (英：diagonal matrix) という。

\[ \mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n) = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & d_2 & \cdots & 0 \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \cdots & d_n \cr \end{bmatrix} \]

対角行列の諸定理

\[ \begin{aligned} \text{(D1)} &: \det(\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) = \prod_{i=1}^n d_i \end{aligned} \]


$\bold{(D1)}$ の証明：

行列式の定義より、

\[ \begin{aligned} & \det(\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) \cr &\quad = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n D_{i\sigma(i)} \quad (D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) \cr \end{aligned} \]

対角行列の定義により、$\sigma$ が恒等置換のときのみ結果に反映されるため、

\[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n D_{i\sigma(i)} \cr &\quad = \begin{cases} \mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n D_{ii} & \text{if }\sigma\text{ is identity permutation} \cr 0 & \text{otherwise} \end{cases} \cr \end{aligned} \cr \cr \therefore \det(\mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) = \prod_{i=1}^n d_i \end{gathered} \]

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