転置行列
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転置行列とは
転置行列 (英：transposed matrix) とは、行列 $\boldsymbol A$ の $(i,j)$-成分と $(j,i)$-成分を入れ替えた行列 $\boldsymbol A^\top$ のこと。
\[ \begin{gathered} (\boldsymbol A^\top)_{i,j} = A_{j,i} \\ \\ \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \\\end{bmatrix}^\top = \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & \cdots & A_{m,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & \cdots & A_{m,2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{1,n} & A_{2,n} & \cdots & A_{m,n} \\\end{bmatrix} \end{gathered} \]
内積の転置行列
二つの行列の内積の転置行列は、それぞれの行列の転置行列の順序を入れ替えた内積に等しい。
\[ \def\b{\boldsymbol} (\b A\b B)^\top = \b B^\top\b A^\top \]
内積の転置行列の導出：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} (\b A^{\ell\times m}\b B^{m\times n})^\top &= \left(\sum_{j=1}^m A_{i,j}B_{j,k}\right)^\top \\ &= \left(\sum_{j=1}^m A_{k,j}B_{j,i}\right) \\ &= \left(\sum_{j=1}^m (\b B^\top)_{i,j}(\b A^\top)_{j,k}\right) \\ &= \b B^\top\b A^\top \vphantom{\int} \\ \\ \therefore (\b A\b B)^\top &= \b B^\top\b A^\top \end{aligned} \]
転置行列の行列式
転置行列の行列式は、転置する前の行列の行列式と等しい。
\[ \def\b{\boldsymbol} \det\b A^\top = \det\b A \]
転置行列の行列式の導出：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} A_{i,j} = (\b A^\top)_{i,j} \\ \\ \begin{aligned} \det\b A^\top &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n (\b A^\top)_{i,\sigma(i)} \\ &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n A_{\sigma(i),i} \quad \because A_{i,j} = (\b A^\top)_{i,j} \\ &= \sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^n A_{i,\tau(i)} \quad \because \tau=\sigma^{-1} \\ &= \det\b A \vphantom{\int} \end{aligned} \\ \\ \therefore \det\b A^\top = \det\b A \end{gathered} \]