期待値

期待値 (expected value) とは、確率変数全ての値に確率の重みをつけた加重算術平均のこと。

$E(X(\omega)) = \int_\varOmega X(\omega)~d\Pr(\omega) \quad (\omega\in\varOmega)$

離散型確率変数の期待値：

確率変数 $X$ が離散型であるとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = \sum_x x P(X=x)$

連続型確率変数の期待値：

確率変数 $X$ が連続型であるとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = \int_{-\infty}^\infty xp(x)~dx$

期待値の諸定理

$\begin{aligned} \text{(E1)} &: E(X+a) = E(X) + a \\ \end{aligned}$

$\bold{(E1)}$ の導出：

$E(X+a)$ は、確率変数 $X$ の値に定数 $a$ を加えることを表す。

$X$ が離散確率変数の場合：

$\begin{aligned} E(X+a) &= \sum_x(x+a)P(x) \\ &= \sum_x xP(x) + \sum_xaP(x) \\ &= \sum_x xP(x) + a\sum_xP(x) \\ &= E(X) + a \cr \\ \therefore E(X+a) &= E(X) + a \end{aligned}$

$X$ が連続確率変数の場合：

$\begin{aligned} E(X+a) &= \int (x+a)p(x)~dx \\ &= \int xp(x)~dx + \int ap(x)~dx \\ &= \int xp(x)~dx + a\int p(x)~dx \\ &= E(X) + a \\ \\ \therefore E(X+a) &= E(X) + a \end{aligned}$

期待値の線型性

線型性に必要な以下二つの性質を満たすため、期待値は線型性を持つ。

$\begin{aligned} \text{加法性} &: E(X+Y) = E(X)+E(Y) \\ \text{斉一次性} &: E(aX) = aE(X) \end{aligned}$

期待値の加法性の証明：

$E(X+Y)$ は確率変数 $X,Y$ の和の期待値を表し、個々の確率変数の値 $x,y$ の生起する確率は $x,y$ の同時確率となるため、

$X,Y$ が離散確率変数の場合：

$\begin{aligned} E(X+Y) &= \sum_x\sum_y (x+y)P(x,y) \\ &= \sum_x\sum_y xP(x,y) + \sum_x\sum_y yP(x,y) \\ &= \sum_x\sum_y xP(x\mid y)P(y) + \sum_x\sum_y yP(y\mid x)P(x) \\ &= \sum_x xP(x) + \sum_y yP(y) \quad \because \text{全確率の法則により} \\ &= E(X) + E(Y) \\ \\ \therefore E(X+Y) &= E(X) + E(Y) \end{aligned}$

$X,Y$ が連続確率変数の場合：

$\begin{aligned} E(X+Y) &= \iint (x+y)p(x,y)~dxdy \\ &= \iint xp(x,y)~dxdy + \iint yp(x,y)~dxdy \\ &= \iint xp(x\mid y)p(y)~dxdy + \iint yp(y\mid x)p(x)~dxdy \\ &= \int xp(x)~dx + \int yp(y)~dy \quad \because \text{全確率の法則により} \\ &= E(X) + E(Y) \\ \\ \therefore E(X+Y) &= E(X) + E(Y) \end{aligned}$

期待値の斉一次性の証明：

$E[aX]$ は、確率変数 $X$ の値に定数 $a$ を掛けることを意味する。

$X$ が離散確率変数の場合：

$\begin{aligned} E(aX) &= \sum_x ax P(x) \\ &= a\sum_x x P(x) \\ &= aE(X) \\ \\ \therefore E(aX) &= aE(X) \end{aligned}$

$X$ が連続確率変数の場合：

$\begin{aligned} E(aX) &= \int axp(x)~dx \\ &= a\int xp(x)~dx \\ &= aE(X) \cr \cr \therefore E(aX) &= aE(X) \end{aligned}$

積の期待値と期待値の積

二つの確率変数 $X,Y$ に対して、$X,Y$ が無相関であるとき、次式が成り立つ。独立であることは無相関でもあるので、$X,Y$ が独立である場合も成り立つ。

$E(XY) = E(X)E(Y) \quad (\mathrm{cov}(X,Y)=0)$

無相関のとき積の期待値と期待値の積が等しいことを証明：

共分散の諸定理より、

$\begin{aligned} \mathrm{cov}(X,Y) &= E(XY)-E(X)E(Y) \\ &= 0 \\ \\ \therefore E(XY) &= E(X)E(Y) \end{aligned}$

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