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線型写像

#線型代数学

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線型写像

同じ係数体 $K$ 上の二つのベクトル空間 $X,Y$ において、写像 $f:X\to Y$ が以下の性質を満たすとき、$f$ を $K$ 上の線型写像 (英：linear map) という。線型写像は $K$ 上の加法において準同型である。

\[ \def\v{\boldsymbol} \begin{aligned} \text{(L1)} &: f(\v x+\v y) = f(\v x) + f(\v y) \cr \text{(L2)} &: f(c\v x) = cf(\v x) \end{aligned} \]

これら二つの性質を合わせて線型性 (英：linearity) と呼ばれ、次式のような形で性質を表すこともある。また線型性を満たすための条件は重ね合わせの原理 (英：superposition principle) とも呼ばれる。

\[ \def\b{\boldsymbol} f(c\b{x}+\b{y}) = cf(\b{x}) + f(\b{y}) \]

また線型写像 $f$ が自己準同型写像である場合、線型写像と区別して $f$ を線型変換 (英：linear transformation) と呼ぶ。

像と核

image-kernel

線型写像 $f:V\to W$ において、

\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \mathrm{Im}(f) &= \lbrace f(\b{v})\in W\mid \b{v}\in V\rbrace \cr \mathrm{Ker}(f) &= \lbrace \b{v}\in V\mid f(\b{v}) = \b{0} \rbrace \end{aligned} \]

$\mathrm{Im}(f)$ を $f$ の像 (英：image)、$\mathrm{Ker}(f)$ を $f$ の核 (英：kernel) という。$\mathrm{Ker}(f)$ が $0$ 以外の元を含む場合、$f$ は単射ではない。

階数と退化次数

線型写像 $f:V\to W$ において、

\[ \begin{aligned} \mathrm{rank}(f) &= \dim(\mathrm{Im}(f)) \cr \mathrm{nul}(f) &= \dim(\mathrm{Ker}(f)) \end{aligned} \]

$\mathrm{rank}(f)$ を階数 (英：rank)、$\mathrm{nul}(f)$ を退化次数 (英：nullity) という。

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