確率空間
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確率空間とは
可測空間 $(\Omega,\mathcal F)$ に確率測度 $P$ を加えた測度空間 $(\varOmega,\mathcal F,P)$ のことを、確率空間 (英：probability space) という。
確率測度
確率測度 (英：probability measure) とは、可測空間 $(\varOmega,\mathcal F)$ において $\Pr(\varOmega)=1$ を満たす完全加法な測度のこと。確率論では単に確率 (英：probability) と呼ばれる。各事象の確率測度が等分であることを求めてはいない点に注意。 \( \begin{aligned} \text{(P1)} &: \Pr(\empty) = 0 \cr[1em] \text{(P2)} &: A\sube B\rArr \Pr(A)\le \Pr(B) \cr \text{(P3)} &: \Pr\left(\bigcup_{i\in\N} A_i\right) = \sum_{i\in\N}\Pr(Ai) \quad (i\ne j\rArr (A_i\cap A_j =\empty)) \cr \text{(P4)} &: \Pr(\Omega) = 1 \cr \end{aligned} \)
また $\text{(PA1)},\text{(PA2)},\text{(PA3)},\text{(PA4)}$ は確率の公理 (英：probability axioms) とも呼ばれる。
試行
試行 (英：trial) とは、同じ条件の下で繰り返し行うことができ、その結果が偶然に支配される実験・計測・観測といった行為のこと。
標本空間
標本空間 (英：sample space) とは、確率空間の空間 $\varOmega$ であり、試行により生起しうる結果の集合のこと。標本空間の元を標本点 (英：sample point) と呼ぶ。標本はしばしば $\omega$ で表される。
\[ \omega \in \varOmega \]
事象
事象 (英：event) とは、標本空間の任意の部分集合 $E\sube\varOmega$ のこと。空集合と等しい事象を空事象 (英：impossible event) 、標本を一つのみ含む事象を根元事象 (英：elementary event)、標本を二つ以上含む事象を複合事象 (英：compound event)、標本空間と等しい事象を全事象 (英：certain event)と呼ぶ。
\[ E\in\mathcal F\sube\mathfrak{P}(\varOmega) \]
例えば表を $1$、裏を $0$ とした場合、コインを一回投げた際の標本空間は、
\[ \varOmega = \lbrace 0, 1\rbrace \]
となる。$\varOmega$ の事象を全て並べると、
\[ \begin{gathered} \lbrace 0,1\rbrace,\lbrace 0\rbrace,\lbrace 1\rbrace,\phi \\ \\ \begin{aligned} \lbrace 0,1\rbrace &: \text{複合事象},\text{全事象} \\ \lbrace 0\rbrace,\lbrace 1\rbrace &: \text{根元事象} \\ \phi &: \text{空事象} \\ \end{aligned} \end{gathered} \]
また、コインを二回投げた際の標本空間は、
\[ \varOmega = \lbrace (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\rbrace \]
その結果の事象は、
\[ \lbrace (0,1)\rbrace,\lbrace (1,0)\rbrace,\lbrace (1,1)\rbrace \]
和事象
和事象 (英：union of events) とは、一つ以上の事象の合併集合のこと。$A$ と $B$ の少なくとも一方が起こる事象を指す。
\[ A\cup B \quad (A,B\in\mathcal F) \]
積事象
積事象 (英：intersection of events) とは、一つ以上の事象の共通部分のこと。$A$ と $B$ が同時に起こる事象を指す。
\[ A\cap B \quad (A,B\in\mathcal F) \]
余事象
余事象 (英：complementary event) とは、事象の補集合のこと。事象と余事象の和事象は全事象である。$A$ が起こらない事象を指す。
\[ A^\mathrm c = \varOmega\setminus A \quad (\varOmega,A\in\mathcal F) \]
排反事象
排反事象 (英：disjoint events) とは、和事象が空事象となる事象のこと。$A$ と $B$ のどちらか一方のみが起こる事象を指す。
\[ A\cap B = \empty \quad (A,B,\empty\in\mathcal F) \]
確率の加法定理
事象 $A,B$ が排反事象であるとき、確率測度の定義から次式が成り立つ。これを確率の加法定理 (英：addition theorem on probability)という。
\[ \Pr(A\sqcup B) = \Pr(A)+\Pr(B) \]
独立性
二つの事象の共通部分の確率測度の値が、それぞれの事象の確率測度の値の積と等しい場合、その二つの事象は独立 (英：independent) であるという。 \( \Pr\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n \Pr(A_i) \quad (A_i\in\mathcal F) \) また確率変数の値に伴う独立性についても、事象が独立であることを前提とすれば、 \( \begin{aligned} \Pr(X\gt m,X\gt n) &= \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\Pr(A_i\cap A_j) \quad (A_i,A_j\in\mathcal F) \cr &= \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\Pr(A_i)\Pr(A_j) \cr &= \sum_{i=1}^m\Pr(A_i)\sum_{j=1}^n\Pr(A_j) \cr &= \Pr(X\gt m)\Pr(X\gt n) \cr \cr \therefore \Pr(X\gt m,X\gt n) &= \Pr(X\gt m)\Pr(X\gt n) \end{aligned} \)
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参考文献
