可測空間

非空な集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal F\sube\mathfrak P(X)$ が σ-代数であるとき、$X$ と $\mathcal F$ の組 $(X,\mathcal F)$ を可測空間 (英：measurable space) という。

集合代数

非空な集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal F\sube\mathfrak P(X)$ が、合併集合をとる演算と補集合をとる演算について、以下の性質を満たすとき、$\mathcal F$ を集合代数 (英：algebra of sets) という。 \( \begin{aligned} \text{(A1)} &: X\in\mathcal F \cr \text{(A2)} &: A\in\mathcal F\rArr A^\mathrm c\in\mathcal F \cr \text{(A3)} &: A,B\in\mathcal F\rArr A\cup B\in\mathcal F \end{aligned} \)

集合代数の諸定理

\[ \begin{aligned} \text{(AT1)} &: \empty\in\mathcal F \cr \text{(AT2)} &: A,B\in\mathcal F\rArr A\cap B\in\mathcal F \cr \text{(AT3)} &: A,B\in\mathcal F\rArr A\setminus B\in\mathcal F \cr \end{aligned} \]

$\bold{(AT1)}$ の証明：

\[ \begin{aligned} X\in\mathcal F &\rArr X^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr\empty\in\mathcal F \cr \cr \therefore \empty&\in\mathcal F \end{aligned} \]

$\bold{(AT2)}$ の証明：

\[ \begin{aligned} A,B\in\mathcal F &\rArr A^\mathrm c,B^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr A^\mathrm c\cup B^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr (A^\mathrm c\cup B^\mathrm c)^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr A\cap B\in\mathcal F \cr \cr \therefore A,B\in\mathcal F &\rArr A\cap B\in\mathcal F \end{aligned} \]

$\bold{(AT3)}$ の証明：

\[ \begin{aligned} A,B\in\mathcal F &\rArr A,B^\mathcal c\in\mathcal F \cr &\rArr A\cap B^\mathcal c\in\mathcal F \quad\because\text{(AT2)} \cr &\rArr A\setminus B\in\mathcal F \cr \cr \therefore A,B\in\mathcal F &\rArr A\setminus B\in\mathcal F \end{aligned} \]

σ-代数

非空な集合 $X$ の集合代数 $\mathcal F$ が可算合併について閉じているとき、$\mathcal F$ を σ-代数 (英：sigma-algebra) という。

\[ \begin{aligned} A_{\lambda\in\N}\in\mathcal F\rArr\bigcup_{\lambda\in\N} A_\lambda\in\mathcal F \end{aligned} \]

また、σ-代数全体の集合を $\varSigma$ とし、

\[ \sigma(X) = \bigcap_{\mathcal F\in\varSigma}\mathcal F \]

から得られる $\sigma(X)$ は、$X$ 上の最小の σ-代数である。

σ-代数の諸定理

\[ \begin{aligned} \text{(ΣT1)} &: A_{i\in\N}\in\mathcal F\rArr\bigcap_{i\in\N}A_i\in\mathcal F \end{aligned} \]

$\bold{(ΣT1)}$ の証明：

\[ \begin{aligned} A_{i\in\N}\in\mathcal F & \rArr A_{i\in\N}^\mathrm c\in\mathcal F \cr & \rArr \bigcup_{i\in\N}A_i^\mathrm c\in\mathcal F \end{aligned} \]

ド・モルガンの法則により、

\[ \begin{aligned} A_{i\in\N}\in\mathcal F &\rArr \bigg(\bigcap_{i\in\N}A_i\bigg)^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr \bigcap_{i\in\N}A_i\in\mathcal F \cr \cr \therefore A_{i\in\N}\in\mathcal F &\rArr \bigcap_{i\in\N}A_i\in\mathcal F \cr \end{aligned} \]

ボレル代数

位相空間 $(X,\mathcal O)$ において、開集合系 $\mathcal O$ 上の最小の σ-代数 $\sigma(\mathcal O)$ をボレル代数 (英：Borel algebra) といい、$\mathcal B(X)$ と表す。このときボレル代数の元 $O\in\mathcal B(X)$ をボレル集合 (英：Borel set) という。

\[ \mathcal B(X) = \sigma(\mathcal O) \]

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