可測空間
Contents
可測空間
非空な集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal F\sube\mathfrak P(X)$ が σ-代数であるとき、$X$ と $\mathcal F$ の組 $(X,\mathcal F)$ を可測空間 (英:measurable space) という。
集合代数
非空な集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal F\sube\mathfrak P(X)$ が、合併集合をとる演算と補集合をとる演算について、以下の性質を満たすとき、$\mathcal F$ を集合代数 (英:algebra of sets) という。 \( \begin{aligned} \text{(A1)} &: X\in\mathcal F \cr \text{(A2)} &: A\in\mathcal F\rArr A^\mathrm c\in\mathcal F \cr \text{(A3)} &: A,B\in\mathcal F\rArr A\cup B\in\mathcal F \end{aligned} \)
集合代数の諸定理
\[ \begin{aligned} \text{(AT1)} &: \empty\in\mathcal F \cr \text{(AT2)} &: A,B\in\mathcal F\rArr A\cap B\in\mathcal F \cr \text{(AT3)} &: A,B\in\mathcal F\rArr A\setminus B\in\mathcal F \cr \end{aligned} \]
$\bold{(AT1)}$ の証明:
\[ \begin{aligned} X\in\mathcal F &\rArr X^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr\empty\in\mathcal F \cr \cr \therefore \empty&\in\mathcal F \end{aligned} \]
$\bold{(AT2)}$ の証明:
\[ \begin{aligned} A,B\in\mathcal F &\rArr A^\mathrm c,B^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr A^\mathrm c\cup B^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr (A^\mathrm c\cup B^\mathrm c)^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr A\cap B\in\mathcal F \cr \cr \therefore A,B\in\mathcal F &\rArr A\cap B\in\mathcal F \end{aligned} \]
$\bold{(AT3)}$ の証明:
\[ \begin{aligned} A,B\in\mathcal F &\rArr A,B^\mathcal c\in\mathcal F \cr &\rArr A\cap B^\mathcal c\in\mathcal F \quad\because\text{(AT2)} \cr &\rArr A\setminus B\in\mathcal F \cr \cr \therefore A,B\in\mathcal F &\rArr A\setminus B\in\mathcal F \end{aligned} \]
σ-代数
非空な集合 $X$ の集合代数 $\mathcal F$ が可算合併について閉じているとき、$\mathcal F$ を σ-代数 (英:sigma-algebra) という。
\[ \begin{aligned} A_{\lambda\in\N}\in\mathcal F\rArr\bigcup_{\lambda\in\N} A_\lambda\in\mathcal F \end{aligned} \]
また、σ-代数全体の集合を $\varSigma$ とし、
\[ \sigma(X) = \bigcap_{\mathcal F\in\varSigma}\mathcal F \]
から得られる $\sigma(X)$ は、$X$ 上の最小の σ-代数である。
σ-代数の諸定理
\[ \begin{aligned} \text{(ΣT1)} &: A_{i\in\N}\in\mathcal F\rArr\bigcap_{i\in\N}A_i\in\mathcal F \end{aligned} \]
$\bold{(ΣT1)}$ の証明:
\[ \begin{aligned} A_{i\in\N}\in\mathcal F & \rArr A_{i\in\N}^\mathrm c\in\mathcal F \cr & \rArr \bigcup_{i\in\N}A_i^\mathrm c\in\mathcal F \end{aligned} \]
ド・モルガンの法則により、
\[ \begin{aligned} A_{i\in\N}\in\mathcal F &\rArr \bigg(\bigcap_{i\in\N}A_i\bigg)^\mathrm c\in\mathcal F \cr &\rArr \bigcap_{i\in\N}A_i\in\mathcal F \cr \cr \therefore A_{i\in\N}\in\mathcal F &\rArr \bigcap_{i\in\N}A_i\in\mathcal F \cr \end{aligned} \]
ボレル代数
位相空間 $(X,\mathcal O)$ において、開集合系 $\mathcal O$ 上の最小の σ-代数 $\sigma(\mathcal O)$ をボレル代数 (英:Borel algebra) といい、$\mathcal B(X)$ と表す。このときボレル代数の元 $O\in\mathcal B(X)$ をボレル集合 (英:Borel set) という。
\[ \mathcal B(X) = \sigma(\mathcal O) \]