測度空間

#測度論

Contents

測度空間とは

測度空間 (英：measure space) とは、完全加法な測度が定義された可測空間のこと。測度空間は、可測空間 $(\varOmega,\mathcal F)$ と測度 $\mu$ を組にして $(\varOmega,\mathcal F,\mu)$ で表される。

集合 $\varOmega$ のσ-代数 $\mathcal F$ 上で定義される関数 $\mu$ が次の規則を満たすとき、$\mu$ を $\mathcal F$ 上で定義された $\varOmega$ の測度 (英：measure) と呼ぶ。

\[ \begin{aligned} \text{(M1)} &: \mu(\empty) = 0 \cr \text{(M2)} &: A\sube B \rArr \mu(A)\le\mu(B) \quad (A,B\in\mathcal F) \end{aligned} \]

また、さらに次の規則を満たすとき、$\mu$ は完全加法 (英：completely additive) であるという。完全加法とは和集合の測度がそれぞれの集合の測度の和に等しく、可算無限個の集合についても成り立つこと。

\[ \text{(M3)} : \mu\left(\bigcup_{i\in\N} A_i\right) = \sum_{i\in\N}\mu(Ai) \quad (A_i\in\mathcal F) \]

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)