測度空間とは
測度空間 (英:measure space) とは、完全加法な測度が定義された可測空間のこと。測度空間は、可測空間 (Ω,F) と測度 μ を組にして (Ω,F,μ) で表される。
測度
集合 Ω のσ-代数 F 上で定義される関数 μ が次の規則を満たすとき、μ を F 上で定義された Ω の測度 (英:measure) と呼ぶ。
(M1)(M2):μ(∅)=0:A⊆B⇒μ(A)≤μ(B)(A,B∈F)
- (M1) - 0 の定義:
空集合の測度は 0 である。
- (M2) - 単調性:
集合 A が集合 B の部分集合ならば、A は B 以下である。
また、さらに次の規則を満たすとき、μ は完全加法 (英:completely additive) であるという。完全加法とは和集合の測度がそれぞれの集合の測度の和に等しく、可算無限個の集合についても成り立つこと。
(M3):μ(i∈N⋃Ai)=i∈N∑μ(Ai)(Ai∈F)
- (M3) - 完全加法性:
和集合の測度がそれぞれの集合の測度の和に等しい。
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