一般化平均

平均 (英：mean) とは、数の集まりの中間的な値のこと。平均は全単射な写像 $f$ を使って次式のように一般化され、次式は一般化平均 (英：generalized mean) と呼ばれる。

\[ \mu_f = f^{-1}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\right] \]

算術平均

算術平均 (英：arithmetic mean) とは、一般化平均の写像 $f$ に恒等写像 $f(x)=x$ を与えた平均のこと。

\[ \begin{aligned} \mu_A &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \cr &= \left.f^{-1}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\right]\right|_{f(x)=x} \cr \end{aligned} \]

調和平均

調和平均 (英：harmonic mean) とは、一般化平均の写像 $f$ に乗法逆元 $f(x)=x^{-1}$ を与えた平均のこと。

\[ \begin{aligned} \mu_{\rm H} &= \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i^{-1}} \cr &= \left.f^{-1}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\right]\right|_{f(x)=x^{-1}} \end{aligned} \]

幾何平均

幾何平均 (英：geometric mean) とは、一般化平均の写像 $f$ に対数関数 $f(x)=\ln x$ を与えた平均のこと。

\[ \begin{aligned} \mu_{\rm G} &= \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} \cr &= \left.f^{-1}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\right]\right|_{f(x)=\ln x} \end{aligned} \]

加重算術平均

加重算術平均 (英：weighted arithmetic mean) とは、算術平均を拡張したもので、格要素の重み (英：weight) を加味し、次式により得られる値のこと。

\[ \mu_{\rm AW} = \frac{\sum_{i=1}^n w^i x^i}{\sum_{i=1}^n w^i} \]