指数関数
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指数関数とは
指数関数 (英：power function) とは、冪演算の底と冪指数から冪を得る関数。冪関数との違いは、冪指数を変数とする点。
指数関数の微分
\[ \begin{aligned} (a^x)^\prime &= a^x\ln a \cr (e^x)^\prime &= e^x \end{aligned} \]
指数関数の微分の導出：
\[ \begin{aligned} f(x) &= a^x \cr \ln f(x) &= \ln a^x \cr \left(\ln f(x)\right)^\prime &= \left(x\ln a\right)^\prime \cr \frac{f^\prime(x)}{f(x)} &= \ln a \cr f^\prime(x) &= f(x)\ln a \cr \cr \therefore (a^x)^\prime &= a^x\ln a \cr \cr (e^x)^\prime &= e^x\ln e \cr &= e^x \cr \cr \therefore (e^x)^\prime &= e^x \end{aligned} \]
指数関数の微分の諸定理
\[ \begin{aligned} \text{(ND1)} &: (e^{ax})^\prime = ae^x \\ \text{(ND2)} &: (\exp(x^n))^\prime = nx^{n-1}\exp(x^n) \\ \end{aligned} \]
$\bold{(ND1)}$ の証明：
\[ \begin{aligned} (e^{ax})^\prime &= (f(g(x)))^\prime \quad (f(x)=e^x,g(x)=ax) \\ &= f^\prime(g(x))g^\prime(x) \quad \because \text{合成関数の微分} \\ &= e^x\cdot a \\ \\ \therefore (e^{ax})^\prime &= ae^x \\ \end{aligned} \]
$\bold{(ND2)}$ の証明：
\[ \begin{aligned} (\exp(x^n))^\prime &= (f(g(x)))^\prime \quad (f(x)=e^x,g(x)=x^n) \\ &= f^\prime(g(x))g^\prime(x) \quad \because \text{合成関数の微分} \\ &= \exp(x^n)\cdot nx^{x-1} \\ \\ \therefore (\exp(x^n))^\prime &= nx^{n-1}\exp(x^n) \end{aligned} \]
指数関数の不定積分
\[ \int{a^x}dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]
指数関数の不定積分の導出：
指数関数の微分から、
\[ \begin{aligned} (a^x)^\prime &= a^x\ln a \cr a^x &= \frac{1}{\ln a}(a^x)^\prime \cr &= \left(\frac{a^x}{\ln a}\right)^\prime \end{aligned} \tag{1} \]
$(1)$ より、
\[ \begin{aligned} \int{a^x}dx &= \int{\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)^\prime}~dx \cr &= \frac{a^x}{\ln a} + C \cr \cr \therefore \int{a^x}dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C \end{aligned} \]
自然指数関数のマクローリン展開
\[ \begin{aligned} e^x &= 1 + x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots \cr &= \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \end{aligned} \]
自然指数関数のマクローリン展開の導出：
\( \begin{aligned} e^x &= \frac{\exp^{(0)}(0)}{0!}x^0 + \frac{\exp^{(1)}(0)}{1!}x^1 + \frac{\exp^{(2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{\exp^{(3)}(0)}{3!}x^3 +\cdots \cr &= \frac{\exp(0)}{0!}x^0 + \frac{\exp(0)}{1!}x^1 + \frac{\exp(0)}{2!}x^2 + \frac{\exp(0)}{3!}x^3 +\cdots \cr &= 1 + x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots \cr &= \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \end{aligned} \tag{1} \) ダランベールの収束判定法により、 \( \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{x^n}\right| \cr &= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x}{n+1}\right| \cr &= 0 \end{aligned} \tag{2} \) $(1),(2)$ より、 \( \begin{aligned} \therefore e^x &= 1 + x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots \cr &= \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \end{aligned} \)