ネイピア数
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ネイピア数
ネイピア数 (英：Napier's constant) とは、次式で定義される数学定数のこと。
\[ \begin{aligned} e &= \lim _{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cr &= \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{1/t} \end{aligned} \]
ネイピア数の諸定理
\[ \begin{aligned} \text{(N1)} &: e^x =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\ \text{(N2)} &: \frac{d}{dx} e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x} \end{aligned} \]
$\bold{(N1)}$ の導出：
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n &= \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\right]^x \cr &= \left.\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\right]^x\right|_{\lambda=n/x} \cr &= \lim_{\lambda\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\lambda}\right)^\lambda\right]^x \cr &= e^x \cr \cr \therefore e^x &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{aligned} \]
$\bold{(N2)}$ の導出：
\[ \begin{gathered} \because f(x)=e^x,g(x)=\lambda x \\ \\ \begin{aligned} \frac{d}{dx}e^{\lambda x} &= f^\prime(g(x))g^\prime(x) \\ &= \lambda e^{\lambda x} \end{aligned} \\ \\ \therefore \frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x} \end{gathered} \]