内積空間とは

実数体 $\R$ あるいは複素数体 $\Complex$ いずれかの体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ において、以下の性質を満たす二項演算 $\lang \bullet, \bullet \rang : V \times V \to F$ が与えられたとき、$\lang \bullet, \bullet \rang$ を内積 (英：inner product)、その組 $(V,\lang \bullet, \bullet \rang)$ を内積空間 (英：inner product space) という。内積空間は計量ベクトル空間 (英：metric vector space) とも呼ばれる。

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \text{(I1)} &: \lang \b{a}, \b{b} \rang = \overline{\lang \b{b}, \b{a} \rang} \cr \text{(I2)} &: \lang k \b{a} + \b{b},\b{c} \rang = k\lang \b{a}, \b{c} \rang + \lang \boldsymbol{b}, \b{c} \rang \cr \text{(I3)} &: \lang \b{a}, \b{a} \rang \ge 0, \quad (\lang\b{a},\b{a}\rang = 0 \rArr\b{a} = 0) \end{aligned}$

• $\text{(I1)}$ ：共軛対称性 (conjugate symmetry)
• $\text{(I2)}$ ：第一引数に対する線型性 (linearity in the first argument)
• $\text{(I3)}$ ：正定値性 (positive-define)

内積空間のノルム

内積空間の定義から、

$\def\b{\boldsymbol} \Vert\b{x}\Vert = \sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang}$

内積空間はノルム空間であることの証明：

非負性：

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \lang\b{x},\b{x}\rang &\ge 0 \quad \because \text{(I3)} \cr \Vert\b{x}\Vert &\ge 0 \quad \because \Vert\b{x}\Vert = \sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang} \end{aligned}$

線型性：

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \Vert a\b{x}\Vert &= \sqrt{\lang a\b{x},a\b{x}\rang} \cr &= \sqrt{a^2\lang\b{x},\b{x}\rang} \cr &= |a|\sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang} \cr &= |a|\Vert\b{x}\Vert \cr \cr \therefore \Vert a\b{x}\Vert &= |a|\Vert\b{x}\Vert \end{aligned}$

三角不等式：

$\def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \Vert\b{x}+\b{y}\Vert &\le\Vert\b{x}\Vert +\Vert\b{y}\Vert \cr \sqrt{\lang\b{x}+\b{y},\b{x}+\b{y}\rang} &\le \sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang} + \sqrt{\lang\b{y},\b{y}\rang} \cr \lang\b{x}+\b{y},\b{x}+\b{y}\rang &\le \lang\b{x},\b{x}\rang + \lang\b{y},\b{y}\rang + 2\sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang} \sqrt{\lang\b{y},\b{y}\rang} \cr \lang\b{x},\b{x}\rang + \lang\b{y},\b{y}\rang + 2\lang\b{x},\b{y}\rang &\le \lang\b{x},\b{x}\rang + \lang\b{y},\b{y}\rang + 2\sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang} \sqrt{\lang\b{y},\b{y}\rang} \cr \lang\b{x},\b{y}\rang &\le \sqrt{\lang\b{x},\b{x}\rang} \sqrt{\lang\b{y},\b{y}\rang} \\ &\qquad = \Vert\b{x}\Vert\Vert\b{y}\Vert \end{aligned}$

上記式からシュワルツの不等式により、三角不等式が満たされることが確認できる。

成す角

二つの実ベクトル $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が与えられたとき、次式から得られる角 $\theta$ を成す角 (英：angular) と呼び、$\cos\theta$ を方向余弦 (英：direction cosine) と呼ぶ。 $\def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \cos\theta = \frac{\lang\b{a}, \b{b}\rang}{\Vert \b{a}\Vert\Vert \b{b}\Vert} \cr \Updownarrow \cr \lang\b{a},\b{b}\rang = \Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert\cos\theta \end{gathered}$

内積空間における直交

内積空間において、あるベクトルの集合 $X$ の二つのベクトル $\boldsymbol x,\boldsymbol y\in X$ の内積が $0$ のとき、この二つのベクトルは直交する (英：orthogonal) といい、$X$ を直交系 (英：orthogonal system) と呼ぶ。 $\boldsymbol{x} \perp\!\!\!\!\perp \boldsymbol{y} :\lrArr \lang\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rang = 0$

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