ベクトル空間
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ベクトル空間とは
係数体 (英：scalar filed) 上のベクトル空間 (英：vector space) とは、以下の性質を満たす二種類の演算を持った代数的構造のこと。ベクトル空間の元をベクトル (英：vector) といい、係数体の元をスカラー (英：scalar) という。
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \begin{aligned} \text{スカラー} &: a\in K \\ \text{ベクトル} &: \b x\in V \quad \left(\b x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix}\right) \\ \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} K &: \text{係数体} \\ V &: \text{ベクトル空間上の集合} \\ \end{aligned} \end{gathered} \]
| 規則 | 意味 |
|---|---|
| 加法の閉性 | $(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) \in V \quad (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V)$ |
| 加法の結合律 | $\boldsymbol{x} + (\boldsymbol{y} + \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) + \boldsymbol{z}$ |
| 加法の単位元の存在 | $\exists\boldsymbol{0} + \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}$ |
| 加法の逆元の存在 | $\exists(-\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{x} = \bold{0}$ |
| 加法の可換律 | $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = \boldsymbol{y} + \boldsymbol{x}$ |
| スカラー倍の閉性 | $a \boldsymbol{x} \in V \quad (a\in K, ~\boldsymbol{x}\in V)$ |
| スカラー倍の結合律 | $a(b \boldsymbol{x}) = (ab) \boldsymbol{x}$ |
| スカラー倍の零元の存在 | $\exists 0 \cdot \boldsymbol{x} = \bold{0}$ |
| スカラー倍の単位元の存在 | $\exists 1 \cdot \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}$ |
| スカラー倍と加法の分配律 | $a (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = a \boldsymbol{x} + a \boldsymbol{y}$ |
実ベクトル空間
数ベクトル空間 (英：real vector space) とは、要素が実数のベクトル全体の集合のこと。ベクトルが $n$ 個の実数を持つとき、その集合を $n$ 次元実ベクトル空間 (英：$n$-dimensional real vector space) と呼ぶ。
\[ \boldsymbol{x} = \left\lbrace \left.\begin{bmatrix} x_1 \cr \vdots \cr x_n \end{bmatrix}\right| x_1,\ldots,x_n\in\R \right\rbrace \quad (\boldsymbol{x}\in\R^n) \]
複素ベクトル空間
複素ベクトル空間 (英：complex vector space) とは、要素が複素数のベクトル全体の集合のこと。ベクトルが $n$ 個の複素数を持つとき、その集合を $n$ 次元複素ベクトル空間 (英：$n$-dimensional complex vector space) と呼ぶ。
\[ \boldsymbol{z} = \left\lbrace \left.\begin{bmatrix} z_1 \cr \vdots \cr z_n \end{bmatrix}\right| z_1,\ldots,z_n\in\Complex \right\rbrace \quad (\boldsymbol{z}\in\Complex^n) \]
ベクトルの演算
ベクトルの加減算：
\[ \def\b{\boldsymbol} \b x \pm \b y = \begin{bmatrix} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ \vdots \\ x_n \pm y_n \\ \end{bmatrix} \]
ベクトルの内積：
\[ \def\b{\boldsymbol} \lang\b x,\b y\rang = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]
ベクトルのスカラー倍：
\[ \def\b{\boldsymbol} c\b x = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ \vdots \\ cx_n \\ \end{bmatrix} \]
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参考文献
KADOKAWA (2018-03-07)
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