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シュワルツの不等式

#線型代数学

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シュワルツの不等式

シュワルツの不等式 (英：Schwarz inequality)

\[ \def\b{\boldsymbol} \vert\lang \b x,\b y\rang\vert \le \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \]


シュワルツの不等式の証明：

\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \lang\b x,\b y\rang = \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert\cos\theta \\ \\ \because -1\le\cos\theta\le 1 \\ \\ -\Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert\le\lang\b x,\b y\rang\le\Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \\ \\ \therefore \vert\lang \b x,\b y\rang\vert \le \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \end{gathered} \]

シュワルツの不等式の等号条件

\[ \def\b{\boldsymbol} \b y = \alpha\b x \\ \]


シュワルツの不等式の等号条件の証明：

\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \vert\lang \b x,\b y\rang\vert &= \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \\ \vert\Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert\cos\theta\vert &= \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \\ \cos\theta &= \pm 1 \end{aligned} \]

幾何的に $\cos\theta$ が $\pm 1$ を満たす条件は、$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ が互いに定数倍の関係であることから、

\[ \def\b{\boldsymbol} \therefore \b y = \alpha\b x \]

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