二項分布
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二項分布
二項分布 (英：binomial distribution) とは、互いに独立で同一なベルヌーイ試行を $n$ 回行ったときの成功回数 $X$ が従う離散確率分布のこと。 \( X\sim\operatorname{Bin}(n,p) \)
確率質量関数
確率 $p$ で成功するベルヌー試行を $n$ 回行ったとき、確率変数 $X$ の値となる成功回数が $k$ のときの確率は、
\[ f_X(k; n,p) = \binom n k p^k(1-p)^{n-k} \]
二項分布の確率質量関数の導出：
$n$ 回中 $k$ 回成功する組合せは、
\[ \binom n k \]
$n$ 回中 $k$ 回のみ成功する組合せそれぞれが発生する確率は、成功する確率 $p$ が $k$ 個の試行で同時に発生する確率と、失敗する確率 $1-p$ が $n-k$ 個の思考が同時に発生する確率が同時に起こる確率に等しい。
\[ p^k(1-p)^{n-k} \]
よって、二項分布の確率質量関数は、
\[ \therefore f_X(k; n,p) = \binom n k p^k(1-p)^{n-k} \]
二項分布が確率分布であることの証明：
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^n\binom n k p^k(1-p)^{n-k} &= (p+(1-p))^n \\ &= 1 \end{aligned} \]
二項分布の確率質量関数のグラフ：
Python 3
from scipy.stats import binom
import matplotlib.pyplot as plt
cases = [
(40, .3), # n, p
(80, .3),
(80, .5),
]
plt.figure()
for n,p in cases:
x = range(n)
dist = binom.pmf(x,n,p)
plt.plot(x, dist, label="n={}, p={}".format(n,p))
plt.title("Probability mass function of binomial distribution")
plt.xlabel("Number of successes in n trials".format(n))
plt.ylabel("Probability".format(n))
plt.legend()
plt.show()
累積分布関数
\[ \begin{aligned} F_X(x; n,p) &= \sum_{k=0}^x f_X(k; n,p)\cr &= \sum_{k=0}^x\binom n k p^k(1-p)^{n-k} \cr \end{aligned} \]
Python 3
from scipy.stats import binom
import matplotlib.pyplot as plt
cases = [
(40, .3),
(80, .3),
(80, .5),
]
plt.figure()
for n,p in cases:
x = range(n)
dist = binom.cdf(x,n,p)
plt.plot(x, dist, label="n={}, p={}".format(n,p))
plt.title("Cumulative distribution function of binomial distribution")
plt.xlabel("Number of successes in n trials".format(n))
plt.ylabel("Probability".format(n))
plt.legend()
plt.show()
期待値
二項分布 $\operatorname{Bin}(n,p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値は、
\[ E[X] = np \quad (X\sim\operatorname{Bin}(n,p)) \]
期待値の導出： \( \begin{aligned} E[X] &= \sum_{k=0}^n kf_X(k; n,p) \cr &= \sum_{k=0}^n k\binom n k p^k(1-p)^{n-k} \cr \end{aligned} \)
$k=0$ のとき、$kf_X(k\mid n,p) = 0$ となることから、
\[ \begin{aligned} E[X] &= \sum_{k=1}^n k\binom n k p^k(1-p)^{n-k} \cr &= n\sum_{k=1}^n\binom {n-1} {k-1}p^k(1-p)^{n-k} \cr &= n\sum_{k=0}^{n-1}\binom {n-1} k p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)} \cr &= np\sum_{k=0}^{n-1}\binom {n-1} k p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} \cr &= np \cr \cr \therefore E[X] &= np \end{aligned} \]
分散
二項分布 $\operatorname{Bin}(n,p)$ に従う確率変数 $X$ の分散は、
\[ \operatorname{V}[X] = np(1-p) \quad (X\sim\operatorname{Bin}(n,p)) \]
分散の導出：
二項分布の期待値と、期待値の諸定理より、
\[ \begin{aligned} V[X] &= E[X^2] - E[X]^2 \cr &= \sum_{k=0}^nk^2f_X(k\mid n,p) - (np)^2 \cr \end{aligned} \]
$k=0$ のとき、$k^2f_X(k;n,p) = 0$ となることから、
\[ \begin{aligned} V[X] &= \sum_{k=1}^nk^2f_X(k; n,p) - (np)^2 \cr &= \sum_{k=1}^nk^2\binom n kp^k(1-p)^{n-k} - (np)^2 \cr &= n\sum_{k=1}^n k\binom {n-1} {k-1}p^k(1-p)^{n-k} - (np)^2 \cr &= n\sum_{k=0}^{n-1}k\binom {n-1} k p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)} - (np)^2 \cr &= np\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\binom {n-1} k p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} - (np)^2 \cr &= np\left[\sum_{k=0}^{n-1}k\binom {n-1} k p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} + \sum_{k=0}^{n-1}\binom {n-1} k p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}\right] - (np)^2 \cr &= np\left[(n-1)p + 1\right] - (np)^2 \cr &= np(1-p) \cr \cr \therefore V[X] &= np(1-p) \end{aligned} \]
関連記事
参考文献
