二項定理とは
二項定理 (英:binomial theorem) とは、二項式の冪の展開を表す公式のこと。
(x+y)n=k=0∑n(kn)xn−kyk
二項定理の導出:
次式を仮定し、数学的帰納法を用いる。
(x+y)n=k=0∑n(kn)xn−kyk
n=0 のとき、
(x+y)0=1=k=0∑n(kn)xn−kyk∣∣∣∣∣∣n=0
n=1 のとき、
(x+y)1=x+y=k=0∑n(kn)xn−kyk∣∣∣∣∣∣n=1
n+1 のとき、
(x+y)n+1=(x+y)k=0∑n(kn)xn−kyk=xk=0∑n(kn)xn−kyk+yk=0∑n(kn)xn−kyk=k=0∑n(kn)x(n+1)−kyk+k=0∑n(kn)xn−kyk+1(1)
右辺の第一項より、
k=0∑n(kn)x(n+1)−kyk=(0n)xn+1+(1n)xny+⋯+(nn)xyn=(0n)xn+1+k=1∑n(kn)x(n+1)−kyk(2)
右辺の第二項より、
k=0∑n(kn)xn−kyk+1=(0n)xny+⋯+(n−1n)xyn+(nn)yn+1=k=1∑n(k−1n)x(n+1)−kyk+(nn)yn+1(3)
(1),(2),(3) より、
(x+y)n+1=k=0∑n(kn)x(n+1)−kyk+k=0∑n(kn)xn−kyk+1=(0n)xn+1+k=1∑n(kn)x(n+1)−kyk+k=1∑n(k−1n)x(n+1)−kyk+(nn)yn+1=(0n)xn+1+k=1∑n[(kn)+(k−1n)]x(n+1)−kyk+(nn)yn+1(4)
ここで (4) の二項係数の和を求めると、
(kn)+(k−1n)=k!(n−k)!n!+(k−1)!(n−(k−1))!n!=k!(n−k+1)!n!(n−k+1)+k!(n−k+1)!n!k=k!(n−k+1)!n!(n+1)=k!((n+1)−k)!(n+1)!=(kn+1)(5)
(4),(5) より、
(x+y)n+1∴(x+y)n=(0n)xn+1+k=1∑n[(kn)+(k−1n)]x(n+1)−kyk+(nn)yn+1=(0n+1)x(n+1)−0y0+k=1∑n(kn+1)x(n+1)−kyk+(n+1n+1)x(n+1)−(n+1)yn+1=k=0∑n+1(kn+1)x(n+1)−kyk=k=0∑n(kn)xn−kyk
二項係数
二項定理に現れる係数 (kn) を二項係数 (英:binomial coefficient) と呼ぶ。二項係数は組合せの総数と等しい。
(kn)=C(n,k)=k!(n−k)!n!(n,k∈N≥0,n≥k)
二項係数の諸定理
(B1)(B2)(B3)(B4):(kn)=(n−kn):(kn)=kn(k−1n−1):(kn)=(kn−1)+(k−1n−1):(kn)(lk)=(ln)(k−ln−l)
(B1) の証明:
(n−kn)∴(kn)=(n−k)!(n−(n−k))!n!=k!(n−k)!n!=(kn)=(n−kn)
(B2) の証明:
kn(k−1n−1)∴(kn)=kn⋅(k−1)!((n−1)−(k−1))!(n−1)!=kn⋅(k−1)!(n−k)!(n−1)!=k!(n−k)!n!=(kn)=kn(k−1n−1)
(B3) の証明:
(kn−1)+(k−1n−1)∴(kn)=k!((n−1)−k)!(n−1)!+(k−1)!((n−1)−(k−1))!(n−1)!=k!(n−k−1)!(n−1)!+(k−1)!(n−k)!(n−1)!=k!(n−k)!(n−k)(n−1)!+k!(n−k)!k(n−1)!=k!(n−k)!n(n−1)!=k!(n−k)!n!=(kn)=(kn−1)+(k−1n−1)
(B4) の証明:
(ln)(k−ln−l)∴(kn)(lk)=l!(n−l)!n!⋅(k−l)!((n−l)−(k−l))!(n−l)!=l!(n−l)!n!⋅(k−l)!(n−k)!(n−l)!=(n−k)!n!⋅l!(k−l)!1=k!(n−k)!n!⋅l!(k−l)!k!=k!(n−k)!n!⋅l!(k−l)!k!=(kn)(lk)=(ln)(k−ln−l)
二項係数の積和
(ℓm+n)=j+k=ℓ∑(jm)(kn)
二項係数の積和の公式の導出:
(1+x)m(1+x)n(1+x)m+n(1+x)m+nℓ=0∑m+n(ℓm+n)xℓ∴(ℓm+n)=j=0∑m(jm)xjk=0∑n(kn)xk=j=0∑mk=0∑n(jm)(kn)xj+k=ℓ=0∑m+n⎣⎢⎡xℓj+k=ℓ∑(jm)(kn)⎦⎥⎤=ℓ=0∑m+n(ℓm+n)xℓ=(1+x)m(1+x)n=ℓ=0∑m+n⎣⎢⎡xℓj+k=ℓ∑(jm)(kn)⎦⎥⎤=j+k=ℓ∑(jm)(kn)
負の二項係数
負の二項係数 (英:negative binomial coefficient) とは、二項係数の第一引数を負の整数まで拡張したもの。
(k−n)=(−1)k(kn+k−1)(n,k∈N≥0)
負の二項係数の導出:
(kn)(k−n)∴(k−n)=k!(n−k)!n!=k!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)k times=k!−n(−n−1)(−n−2)⋯(−n−k+1)=k!(−1)k⋅n(n+1)(n+2)⋯(n+k−1)k times=(−1)kk!((n+k−1)−k)!(n+k−1)!=(−1)k(kn+k−1)=(−1)k(kn+k−1)
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参考文献
稲井 寛
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