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オイラーの公式

#複素解析学

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オイラーの公式とは

オイラーの公式 (英：Euler's formula) とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係のこと。

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta


オイラーの公式の導出：

自然指数関数のマクローリン展開と三角関数のマクローリン展開から、 eiθe^{i\theta} をマクローリン展開すると、

eiθ=∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−iθ77!+⋯=(1−θ22!+θ44!−θ66!+⋯ )+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+⋯ )=∑k=0∞(−1)k(2k)!θ2k+i∑k=0∞(−1)k(2k+1)!θ2k+1=cos⁡θ+isin⁡θ∴eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ \begin{aligned} e^{i\theta} &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(i\theta)^k}{k!} \cr &= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} +\cdots \cr &= \left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}- \frac{\theta^6}{6!} +\cdots\right) + i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots\right) \cr &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\theta^{2k} + i\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\theta^{2k+1} \cr &= \cos\theta + i\sin\theta \cr \cr \therefore e^{i\theta} &= \cos\theta + i\sin\theta \end{aligned}

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