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ロジスティック方程式

#数理モデル

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ロジスティック方程式

ロジスティック方程式 (英：logistic equation) とは、マルサスモデルのマルサス係数に、個体数に応じて増加率が減少するモデル r(1−PK)r\left(1-\frac{P}{K}\right) を適用したもの。

dPdt=rP(1−PK) \frac{dP}{dt} = rP\left(1-\frac{P}{K}\right)

パラメタ 値域 説明
PP P∈R, 0≤P≤KP\in\R, ~0\le P\le K 個体数
KK K∈R, P≤KK\in\R, ~P\le K 環境収納力
rr r∈Rr\in\R 内的自然増加率
tt t∈Rt\in\R 時間

ロジスティック方程式の解

一般に t=0t=0 時の PP の値である P0P_0 の値をパラメタとした次の解がロジスティック方程式の解として知られている。

P=P0KertK−P0+P0ert P = \frac{P_0Ke^{rt}}{K-P_0+P_0e^{rt}}

ロジスティック方程式の解の導出： dPdt=rP(1−PK)rdt=KP(K−P)dP \begin{aligned} \frac{dP}{dt} &= rP\left(1-\frac{P}{K}\right) \cr rdt &= \frac{K}{P(K-P)}dP \end{aligned}

部分分数分解により、

rdt=KP(K−P)dP=(1P+1K−P)dP \begin{aligned} rdt &= \frac{K}{P(K-P)}dP \cr &= \left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)dP \end{aligned}

両辺を積分すると、

∫rdt=∫(1P+1K−P)dP=∫1PdP+∫1K−PdPrt=ln⁡P−ln⁡(K−P)+C∵P,K>0, P≤Krt−C=ln⁡PK−Pexp⁡(rt−C)=PK−PP=exp⁡(rt−C)(K−P)=Kexp⁡(rt−C)−Pexp⁡(rt−C)Kexp⁡(rt−C)=P(1+exp⁡(rt−C))P=Kexp⁡(rt−C)1+exp⁡(rt−C)=K1+exp⁡(−rt+C) \begin{aligned} \int{rdt} &= \int{\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)dP} \cr &= \int{\frac{1}{P}dP} + \int{\frac{1}{K-P}dP} \cr \cr rt &= \ln P - \ln(K-P) + C \quad \because P,K>0, ~P\le K \cr rt - C &= \ln\frac{P}{K-P} \cr \exp(rt-C) &= \frac{P}{K-P} \cr \cr P &= \exp(rt-C)(K-P) \cr &= K\exp(rt-C)-P\exp(rt-C) \cr \cr K\exp(rt-C) &= P(1+\exp(rt-C)) \cr P &= \frac{K\exp(rt-C)}{1+\exp(rt-C)} \cr &= \frac{K}{1+\exp(-rt+C)} \end{aligned}

P0P_0 を計算すると、

P0=K1+exp⁡(−rt+C)∣t=0=K1+exp⁡(C)1+exp⁡(C)=KP0exp⁡(C)=K−P0P0(1) \begin{aligned} P_0 &= \left.\frac{K}{1+\exp(-rt+C)}\right|_{t=0} \cr &= \frac{K}{1+\exp(C)} \cr 1+\exp(C) &= \frac{K}{P_0} \cr \exp(C) &= \frac{K-P_0}{P_0} \end{aligned} \tag{1}

よって、

P=K1+exp⁡(−rt+C)=K1+exp⁡(C)exp⁡(−rt)=K1+K−P0P0exp⁡(−rt)∵(1)=KP0exp⁡(rt)[1+K−P0P0exp⁡(−rt)]P0exp⁡(rt)=P0Kexp⁡(rt)K−P0+P0exp⁡(rt)∴P=P0KertK−P0+P0ert \begin{aligned} P &= \frac{K}{1+\exp(-rt+C)} \cr &= \frac{K}{1+\exp(C)\exp(-rt)} \cr &= \frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt)} \quad \because (1) \cr &= \frac{KP_0\exp(rt)}{\left[1+\frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt)\right]P_0\exp(rt)} \cr &= \frac{P_0K\exp(rt)}{K-P_0+P_0\exp(rt)} \cr \cr \therefore P &= \frac{P_0Ke^{rt}}{K-P_0+P_0e^{rt}} \end{aligned}

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