呼称

• マルサスモデル (Malthusian model)

概要

マルサスモデルとは、ある生物の個体群サイズの指数関数的な増加あるいは現象を記述する数理モデル。

モデル

マルサスモデルでは、ある生物の個体数 $P$ の増加速度が個体数自体に比例するとして、次のように個体数増加速度 $dP/dt$ を表す。

$\frac{dP}{dt} = mP$

• $t$ ：時点
• $P$ : $t$ 時点での個体数
• $m$ ：マルサス係数

ある時点における個体数

$P = P_0 e^{mt}$

導出：

$\begin{aligned} \frac{dP}{dt} &= mP \cr \frac{dP}{P} &= mdt \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int{\frac{dP}{P}} &= \int{mdt} \cr \int{\frac{1}{P}dP} &= m\int{dt} \end{aligned}$

$\ln{P} = mt + C$

$\begin{aligned} P &= e^{mt+C} \cr &= e^C e^{mt} \end{aligned}$

$t=0$ から $e^C$ を求める。

$\begin{aligned} P_0 &= e^C c^0 \cr e^C &= P_0 \end{aligned}$

$e^C$ が $P$ の初期値 $P_0$ であるため、

$\begin{aligned} P &= e^C e^{mt} \\\ &= P_0 e^{mt} \end{aligned}$

サンプルコード

モデル (Python 3)

import numpy as np


class MalthusianModel:
    """
    マルサスモデル
    """


    @staticmethod
    def population(init: np.float, rate: np.float, time: np.float) -> np.float:
        """
        Parameters
        ----------
        init : np.float
            初期個体数
        rate : np.float
            マルサス係数
        time : np.float
            時間
            
        Returns
        -------
        population : np.float
            個体数
        """
        
        return init * np.exp(rate*time)

グラフ (Python 3)

import matplotlib.pyplot as plt


X = np.linspace(0, 10, 100)

plt.figure()
plt.title("Malthusian model")

plt.xlim(0, 8)
plt.ylim(0, 1000)

plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("Population")

plt.plot(X, MalthusianModel.population(1., 1., X), label="init=1, rate=1.")
plt.plot(X, MalthusianModel.population(1., 2., X), label="init=1, rate=2.")
plt.plot(X, MalthusianModel.population(1., 4., X), label="init=1, rate=4.")

plt.legend()
plt.show()

参考文献

• マルサスモデル - Wikipedia
• 人口増加の微分方程式 (マルサスモデル) - 基礎からの数学入門