ロジスティック関数
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呼称
- ロジスティック関数 (logistic function)
概要
ロジスティック関数とは、ロジスティック方程式の解のこと。
定義
一般には $x_0$ をパラメタとした次の定義がロジスティック関数として知られている。
\[ f(x) = \frac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}} \]
| パラメタ | 値域 | 説明 |
|---|---|---|
| $L$ | $L\in\R, ~0\le L$ | $f(x)$ が取りうる最大値 |
| $k$ | $k\in\R$ | 成長率 |
| $x_0$ | $x_0\in\R$ | $\displaystyle f(x_0) = \frac{L}{2}$ |
導出：
ロジスティック方程式の解の導出から、
\[ P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt)} \tag{1} \]
$\displaystyle P(t_0)=\frac{K}{2}$ とすると、
\[ \begin{aligned} P(t_0) = \frac{K}{1+\frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt_0)} &= \frac{K}{2} \cr 1 + \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt_0) &= 2 \cr \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt_0) &= 1 \cr \exp(-rt_0) &= \frac{P_0}{K-P_0} \cr \exp(rt_0) &= \frac{K-P_0}{P_0} \end{aligned} \tag{2} \]
$(1),(2)$ より、
\[ \begin{aligned} P(t) &= \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\exp(-rt)} \cr &= \frac{K}{1 + \exp(rt_0)\exp(-rt)} \cr &= \frac{K}{1+\exp(-r(t-t_0))} \cr \cr \therefore f(x) &= \frac{L}{1+e^{-r(x-x_0)}} \end{aligned} \]