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連続写像

#位相空間論

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連続写像とは

連続 (英：continuity) とは、いくら拡大しても近くにあり差がないことを示す極限概念。以下の条件を満たすとき、写像 $f$ は $x=a$ で連続であるという。

位相空間上の連続写像

位相空間において写像 $f:X\to Y$ が点 $x\in X$ で連続であるとは、どのような像 $f(x)$ の近傍 $\mathfrak U_Y(f(x))$ に対しても、近傍 $\mathfrak U_X(x)$ の像 $f(\mathfrak U_X(x))$ が存在して、$f(\mathfrak U_X(x))\sube\mathfrak U_Y(f(x))$ を満たすことをいう。すべての $x$ で連続である $f$ を連続写像 (英：continuous map) という。

\[ \forall\mathfrak U_Y(f(x)),\exists\mathfrak U_X(x)(f(\mathfrak U_X(x))\sube\mathfrak U_Y(f(x))) \]

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