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連続写像

#位相空間論

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連続写像とは

連続 (英：continuity) とは、いくら拡大しても近くにあり差がないことを示す極限概念。以下の条件を満たすとき、写像 ff は x=ax=a で連続であるという。

位相空間上の連続写像

位相空間において写像 f:X→Yf:X\to Y が点 x∈Xx\in X で連続であるとは、どのような像 f(x)f(x) の近傍 UY(f(x))\mathfrak U_Y(f(x)) に対しても、近傍 UX(x)\mathfrak U_X(x) の像 f(UX(x))f(\mathfrak U_X(x)) が存在して、f(UX(x))⊆UY(f(x))f(\mathfrak U_X(x))\sube\mathfrak U_Y(f(x)) を満たすことをいう。すべての xx で連続である ff を連続写像 (英：continuous map) という。

∀UY(f(x)),∃UX(x)(f(UX(x))⊆UY(f(x))) \forall\mathfrak U_Y(f(x)),\exists\mathfrak U_X(x)(f(\mathfrak U_X(x))\sube\mathfrak U_Y(f(x)))

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