位相空間
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位相空間
全体集合 $X$ と $X$ の部分集合族 $\mathcal O$ の組 $(X,\mathcal O)$ が位相空間 (英：topological space) であるとは、以下の公理を満たすことをいう。このとき、$\mathcal O$ を $X$ の開集合系 (英：open sets) といい、$\mathcal O$ によって定まる数学的構造を位相 (英：topology) という。また位相空間において$X$ は空間 (英：space)、$X$ の元は点 (英：point) と呼ばれる。
\[ \begin{aligned} \text{(OA1)} &: \empty,X \in \mathcal{O} \cr \text{(OA2)} &: O_1,\ldots,O_n \in \mathcal{O} \rArr \bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathcal{O} \cr \text{(OA3)} &: O_{\lambda\in\varLambda}\in\mathcal{O} \rArr \bigcup_{\lambda \in \varLambda} O_\lambda \in \mathcal{O} \end{aligned} \]
- $\text{(OA1)}$ ：全体集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal O$ は、空集合 $\empty$ と $X$ を含む。
- $\text{(OA2)}$ ：$\mathcal O$ の有限個の元 $O_1,\ldots,O_n$ の共通部分は $\mathcal O$ に属する。
- $\text{(OA3)}$ ：$\mathcal O$ の任意個の元 $O_{\lambda\in\varLambda}$ の合併集合は $\mathcal O$ に属する。
これらの公理は開集合の公理 (英：open set axioms) と呼ばれる。また位相空間 $(X,\mathcal O)$ が与えられたとき、開集合の補集合 $O^\complement$ を閉集合 (英：closed set) 、$O^\complement$ を含む $X$ の部分集合系 $\mathfrak F$ を閉集合系 (英：closed sets) という。
\[ O^\complement = X\setminus O \quad (O^\complement\in\mathfrak F) \]
また閉集合系は、公理を用いて以下のように定義付けることもできる。
\[ \begin{aligned} \text{(CA1)} &: \empty,X\in\mathcal F \cr \text{(CA2)} &: F_1,\ldots,F_n\in\mathcal F\rArr\bigcup_{i=1}^n F_i\in\mathcal F \cr \text{(CA3)} &: F_{\lambda\in\varLambda}\in\mathcal F\rArr\bigcap_{\lambda\in\varLambda}F_\lambda\in\mathcal F \cr \end{aligned} \]
- $\text{(CA1)}$ ：全体集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal F$ は、空集合 $\empty$ と $X$ を含む。
- $\text{(OA2)}$ ：$\mathfrak F$ の有限個の元 $F_1,\ldots,F_n$ の合併集合は $\mathcal F$ に属する。
- $\text{(OA3)}$ ：$\mathfrak F$ の任意個の元 $F_{\lambda\in\varLambda}$ の共通部分は $\mathcal F$ に属する。