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極限

#位相空間論 #微分積分学

Contents

極限とは

ある数列あるいは点列がある値に限りなく近づくとき、その値を極限 (英：limit) といい、その数列あるいは点列は収束する (英：converge) という。収束しない場合は、発散する (英：diverge) という。

数列の収束

数列 ${a_n}$ の収束は ε-N 論法 (英：epsilon-N definition of limit) を用いて、次式のように定義される。次式を満たすとき数列 $(a_n)$ は極限 $L$ に収束するといい、$(a_n)$ は収束列と呼ばれる。

\[ \begin{gathered} \forall\varepsilon\gt 0,\exists{N}\in\N,\forall{n}\in\N ~(n\gt N \rArr |a_n-L|\lt\varepsilon) \\ \Updownarrow \\ \lim_{n\to\infty} a_n = L \\ \\ \begin{aligned} a_n &: \text{数列 }(a_n)\text{ の元} \\ L &: \text{極限} \\ \end{aligned} \end{gathered} \]

関数の収束

関数 $f$ の収束は ε-δ 論法 (英：epsilon-delta definition of limit) を用いて、次のように定義される。

\[ \begin{gathered} \lim_{x\to c}{f(x)} = L \cr \Updownarrow \cr \forall\varepsilon\gt 0,\exist\delta\gt 0,\forall{x}\in\R ~(0\lt |x-c|\lt\delta\Rarr|f(x)-L|\lt\varepsilon) \end{gathered} \]

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