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距離空間

#位相空間論

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距離空間とは

位相空間 (X,O)(X,\mathcal O) に以下の条件を満たす非負実数値関数 d:X×X→R≥0d:X\times X\to\R_{\ge 0} が与えられたとき、(X,O)(X,\mathcal O) と dd の組 (X,O,d)(X,\mathcal O,d) を距離空間 (英：metric space)、dd を距離関数 (英：metric function) という。

正値性:d(P,Q)≥0非退化性:d(P,Q)=0⇔P=Q対称性:d(P,Q)=d(Q,P)三角不等式:d(P,R)≤d(P,Q)+d(Q,R) \begin{aligned} \text{正値性} &: d(P,Q)\ge 0 \cr \text{非退化性} &: d(P,Q)=0\lrArr P=Q \cr \text{対称性} &: d(P,Q)=d(Q,P) \cr \text{三角不等式} &: d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R) \end{aligned}

距離空間上の連続関数

関数 $f:\Rn\to\Rnが点 が 点 \boldsymbol a\in\R^n$ で連続であると、次式が成り立つときをいう。

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈Rn (0<d(x,a)<δ⇒d(f(x),f(a))<ε)⇕∃lim⁡x→af(x)=f(a) \def\b{\boldsymbol} \forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0,\forall\b x\in\R^n~(0\lt d(\b x,\b a)\lt\delta\rArr d(f(\b x),f(\b a))\lt\varepsilon) \\ \Updownarrow \\ \exists\lim_{x\to a}{f(\b x)} = f(\b a) \\

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