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距離空間

#位相空間論

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距離空間とは

位相空間 $(X,\mathcal O)$ に以下の条件を満たす非負実数値関数 $d:X\times X\to\R_{\ge 0}$ が与えられたとき、$(X,\mathcal O)$ と $d$ の組 $(X,\mathcal O,d)$ を距離空間 (英：metric space)、$d$ を距離関数 (英：metric function) という。

\[ \begin{aligned} \text{正値性} &: d(P,Q)\ge 0 \cr \text{非退化性} &: d(P,Q)=0\lrArr P=Q \cr \text{対称性} &: d(P,Q)=d(Q,P) \cr \text{三角不等式} &: d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R) \end{aligned} \]

距離空間上の連続関数

関数 $f:\Rn\to\Rn$ が 点 $\boldsymbol a\in\R^n$ で連続であると、次式が成り立つときをいう。

\[ \def\b{\boldsymbol} \forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0,\forall\b x\in\R^n~(0\lt d(\b x,\b a)\lt\delta\rArr d(f(\b x),f(\b a))\lt\varepsilon) \\ \Updownarrow \\ \exists\lim_{x\to a}{f(\b x)} = f(\b a) \\ \]

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