群
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群
一つの二項演算に以下の性質が定められた代数的構造のことを群 (英:group) という。群は台集合 $G$ と二項演算 $\mu$ の組 $(G, \mu)$ で表される。
\[ \begin{aligned} \text{(GA1)} &: \mu:G\times G\to G \cr \text{(GA2)} &: \mu(a, \mu(b,c)) = \mu(\mu(a,b),c) \cr \text{(GA3)} &: \exists e, ~ \mu(a,e) = \mu(e, a) = a \cr \text{(GA4)} &: \exists b, ~ \mu(a, b) = \mu(b, a) = c \end{aligned} \]
- $\text{(GA1)}$ :二項演算の閉性
- $\text{(GA2)}$ :二項演算の結合性
- $\text{(GA3)}$ :単位元の存在
- $\text{(GA4)}$ :逆元の存在
他の代数的構造との関係
群は一つの二項演算に特定の性質が定められた代数的構造である。この二項演算にどのような性質が定められているかで、次表のように様々な代数的構造が定められる。
代数的構造 | 閉性 | 結合律 | 単位元の存在 | 逆元の存在 | 交換法則 |
---|---|---|---|---|---|
マグマ | ◯ | - | - | - | - |
半群 | ◯ | ◯ | - | - | - |
モノイド | ◯ | ◯ | ◯ | - | - |
群 | ◯ | ◯ | ◯ | ◯ | - |
アーベル群 | ◯ | ◯ | ◯ | ◯ | ◯ |