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群

#抽象代数学

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群

一つの二項演算に以下の性質が定められた代数的構造のことを群 (英：group) という。群は台集合 GG と二項演算 μ\mu の組 (G,μ)(G, \mu) で表される。

(GA1):μ:G×G→G(GA2):μ(a,μ(b,c))=μ(μ(a,b),c)(GA3):∃e, μ(a,e)=μ(e,a)=a(GA4):∃b, μ(a,b)=μ(b,a)=c \begin{aligned} \text{(GA1)} &: \mu:G\times G\to G \cr \text{(GA2)} &: \mu(a, \mu(b,c)) = \mu(\mu(a,b),c) \cr \text{(GA3)} &: \exists e, ~ \mu(a,e) = \mu(e, a) = a \cr \text{(GA4)} &: \exists b, ~ \mu(a, b) = \mu(b, a) = c \end{aligned}

他の代数的構造との関係

群は一つの二項演算に特定の性質が定められた代数的構造である。この二項演算にどのような性質が定められているかで、次表のように様々な代数的構造が定められる。

代数的構造 閉性 結合律 単位元の存在 逆元の存在 交換法則
マグマ ◯ - - - -
半群 ◯ ◯ - - -
モノイド ◯ ◯ ◯ - -
群 ◯ ◯ ◯ ◯ -
アーベル群 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯

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