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アーベル群

#抽象代数学

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アーベル群

一つの二項演算に以下の性質が定められた代数的構造のことをアーベル群 (英：abelian group) という。群は台集合 $G$ と二項演算 $\mu$ の組 $(G, \mu)$ で表される。

\[ \begin{aligned} \text{(AA1)} &: \mu:G\times G\to G \cr \text{(AA2)} &: \mu(a, \mu(b,c)) = \mu(\mu(a,b),c) \cr \text{(AA3)} &: \exists e, ~ \mu(a,e) = \mu(e, a) = a \cr \text{(AA4)} &: \exists b, ~ \mu(a, b) = \mu(b, a) = c \cr \text{(AA5)} &: \mu(a,b) = \mu(b,a) \end{aligned} \]

他の代数的構造との関係

アーベル群は一つの二項演算に特定の性質が定められた代数的構造である。この二項演算にどのような性質が定められているかで、次表のように様々な代数的構造が定められる。

代数的構造 閉性 結合律 単位元の存在 逆元の存在 交換法則
マグマ ◯ - - - -
半群 ◯ ◯ - - -
モノイド ◯ ◯ ◯ - -
群 ◯ ◯ ◯ ◯ -
アーベル群 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯

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