有理数
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有理数とは
有理数 (英：rational number) とは、整数を分数まで拡張した数のこと。有理数全体の集合は、以下に基づく整数全体の集合 $\Z$ のデカルト積 $\Z^2$ の商集合から与えられる。この拡張により有理数の乗法はアーベル群の構造を持つ。
\[ \begin{aligned} \Bbb Q &= {\Z^2/\!\sim_\Bbb Q} \cr \cr \lang a,b\rang\sim_\Bbb Q\lang c,d\rang &\lrArr a\times_\N d = b\times_\N c \cr \end{aligned} \]
順序的構造
有理数の順序関係は、整数の順序関係を使って次のように定義される。次式により整数の順序関係は全順序である。
\[ \lang a,b\rang\le_\Bbb Q\lang c,d\rang\lrArr a\times d\le_\Z b\times c \]
代数的構造
乗法がアーベル群となることで、有理数は体をなす。
| 加法 | 乗法 | |
|---|---|---|
| 閉性 | ◯ | ◯ |
| 結合性 | ◯ | ◯ |
| 単位元の存在 | ◯ | ◯ |
| 逆元の存在 | ◯ | ◯ |
| 可換性 | ◯ | ◯ |
加法
有理数全体の集合 $\Bbb Q$ の加法は、次のように定義することでアーベル群の構造を持つ。
\[ \begin{aligned} \lang a,b\rang +_\Bbb Q \lang c,d\rang &= \lang ad+_\Z bc, bd\rang \cr &= \lang \times_\Z(a,d)+_\Z \times_\Z(b,c),\times_\Z(b,d)\rang \cr \end{aligned} \]
乗法
有理数全体の集合 $\Bbb Q$ の乗法は、次のように定義することでアーベル群の構造を持つ。
\[ \begin{aligned} \lang a,b\rang\times_\Bbb Q\lang c,d\rang &= \lang ac,bd\rang \cr &= \lang\times_\Z(a,c),\times_\Z(b,d)\rang \end{aligned} \]