整数
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整数
整数 (英：integer number) とは、自然数を負数まで拡張した数である。整数全体の集合は、以下に基づく自然数全体の集合 $\N$ のデカルト積 $\N^2$ の商集合から与えられる。この拡張により整数の加法はアーベル群の構造を持つ。
\[ \begin{aligned} \Z &= {\N^2/\!\sim_\Z} \cr \cr \lang a,b\rang\sim_\Z\lang c,d\rang &\lrArr a+d = b+c \cr \end{aligned} \]
上記同値関係によって、各整数は以下のように同値類によって定義される。
\[ \begin{aligned} -3 &:= \lang 0,3\rang,\ldots \cr -2 &:= \lang 0,2\rang,\lang 1,3\rang,\ldots \cr -1 &:= \lang 0,1\rang,\lang 1,2\rang,\lang 2,3\rang,\ldots \cr 0 &:= \lang 0,0\rang,\lang 1,1\rang,\lang 2,2\rang,\lang 3,3\rang,\ldots \cr 1 &:= \lang 1,0\rang,\lang 2,1\rang,\lang 3,2\rang,\ldots \cr 2 &:= \lang 2,0\rang,\lang 3,1\rang,\ldots \cr 3 &:= \lang 3,0\rang,\ldots \cr \end{aligned} \]
\[ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|cc} \N\backslash\N & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots \\ \hline 0 & \lang 0,0\rang & \lang 0,1\rang & \lang 0,2\rang & \lang 0,3\rang & \cdots \cr 1 & \lang 1,0\rang & \lang 1,1\rang & \lang 1,2\rang & \lang 1,3\rang & \cdots \cr 2 & \lang 2,0\rang & \lang 2,1\rang & \lang 2,2\rang & \lang 2,3\rang & \cdots \cr 3 & \lang 3,0\rang & \lang 3,1\rang & \lang 3,2\rang & \lang 3,3\rang & \cdots \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \cr \end{array} \]
順序的構造
整数の順序関係は、自然数の順序関係を使って次のように定義される。次式により整数の順序関係は全順序である。
\[ \lang a,b\rang\le_\Z\lang c,d\rang\lrArr a+d\le_\N b+c \]
代数的構造
負数が定義されたことにより、整数は可換環な代数的構造を持つ。
| 加法 | 乗法 | |
|---|---|---|
| 閉性 | ◯ | ◯ |
| 結合性 | ◯ | ◯ |
| 単位元の存在 | ◯ | ◯ |
| 逆元の存在 | ◯ | - |
| 可換性 | ◯ | ◯ |
加法
整数全体の集合 $\Z$ は、次のように定義することで加法に対してアーベル群となる。
\[ \lang a,b\rang +_\Z \lang c,d\rang = \lang a+_\N c, b+_\N d\rang \]
乗法
整数全体の集合 $\Z$ は、次のように定義することで乗法に対して可換モノイドとなる。
\[ \begin{aligned} \lang a,b\rang\times_\Z\lang c,d\rang &= \lang ac+bd,ad+bc\rang \cr &= \lang \times_\N(a,c)+\times_\N(b,d),\times_\N(a,d)+\times_\N(b,c)\rang \end{aligned} \]