同値関係

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同値関係とは

同値関係 (英：equivalence relation) とは、以下の性質を満たす二項関係 $R$ のこと。また同値関係の性質を同値性 (英：equivalence) という。

\[ \begin{aligned} \text{反射性} &: aRa \cr \text{対称性} &: aRb\rArr bRa \cr \text{推移性} &: aRb\land bRc\rArr aRc \end{aligned} \]

ある集合 $X$ で元 $a,b\in X$ が同値関係であることを、次式のように表す。

\[ a\sim b \]

同値関係により関係付けられた元全体の集合を同値類 (英：equivalence class) という。

\[ [a] = \lbrace x\in X\mid x\sim a\rbrace \]

商集合 (英：quotient set) とは同値類を元とする集合の分割のこと。

\[ {X/\!\sim} = \lbrace [a]\rbrace \quad \Bigg(\bigsqcup_{[a]\in P}[a] = X\Bigg) \]

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