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単調関数

#順序集合論

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単調関数

二つの順序集合の間の準同型写像 ff を単調関数 (英：monotonic function) という。

単調増加 広義単調増加 x1≼x2⇒f(x1)≼f(x2)x_1\preccurlyeq x_2\rArr f(x_1)\preccurlyeq f(x_2)
狭義単調増加 x1≺x2⇒f(x1)≺f(x2)x_1\prec x_2\rArr f(x_1)\prec f(x_2)
単調減少 広義単調減少 x1≼x2⇒f(x1)≽f(x2)x_1\preccurlyeq x_2\rArr f(x_1)\succcurlyeq f(x_2)
狭義単調減少 x1≺x2⇒f(x1)≻f(x2)x_1\prec x_2\rArr f(x_1)\succ f(x_2)

導関数による特徴付け

開区間 (a,b)⊂R(a,b)\sub\R において実関数 ff が微分可能である場合、導関数 f′f^\prime の性質により以下の単調性が特徴付けられる。

導関数の性質 特徴付け
f′(x)≥0f^\prime(x)\ge 0 広義単調増加
f′(x)>0f^\prime(x)\gt 0 狭義単調増加
f′(x)≤0f^\prime(x)\le 0 広義単調減少
f′(x)<0f^\prime(x)\lt 0 狭義単調減少


導関数による特徴付けの証明：

ラグランジュの平均値の定理により、

∃c∈(a,b) [f(b)−f(a)b−a=f′(c)]f(b)−f(a)b−af′(c)++++−−−+−−−+(1) \begin{gathered} \exist c\in(a,b)~\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime(c)\right] \cr \cr \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} f(b)-f(a) & b-a & f^\prime(c) \cr \hline {+} & {+} & {+} \cr {+} & {-} & {-} \cr {-} & {+} & {-} \cr {-} & {-} & {+} \cr \end{array} \end{gathered} \tag{1}

よって、(1)(1) の符号の対応表から、

狭義単調関数には逆関数が存在する

区間 [x1,x2][x_1,x_2] の狭義単調関数 ff が与えられたとき、区間 [f(x1),f(x2)][f(x_1),f(x_2)] の逆関数 f−1f^{-1} が存在する。

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