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単調関数

#順序集合論

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単調関数

二つの順序集合の間の準同型写像 $f$ を単調関数 (英：monotonic function) という。

単調増加 広義単調増加 $x_1\preccurlyeq x_2\rArr f(x_1)\preccurlyeq f(x_2)$
狭義単調増加 $x_1\prec x_2\rArr f(x_1)\prec f(x_2)$
単調減少 広義単調減少 $x_1\preccurlyeq x_2\rArr f(x_1)\succcurlyeq f(x_2)$
狭義単調減少 $x_1\prec x_2\rArr f(x_1)\succ f(x_2)$

導関数による特徴付け

開区間 $(a,b)\sub\R$ において実関数 $f$ が微分可能である場合、導関数 $f^\prime$ の性質により以下の単調性が特徴付けられる。

導関数の性質 特徴付け
$f^\prime(x)\ge 0$ 広義単調増加
$f^\prime(x)\gt 0$ 狭義単調増加
$f^\prime(x)\le 0$ 広義単調減少
$f^\prime(x)\lt 0$ 狭義単調減少


導関数による特徴付けの証明：

ラグランジュの平均値の定理により、

\[ \begin{gathered} \exist c\in(a,b)~\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime(c)\right] \cr \cr \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} f(b)-f(a) & b-a & f^\prime(c) \cr \hline {+} & {+} & {+} \cr {+} & {-} & {-} \cr {-} & {+} & {-} \cr {-} & {-} & {+} \cr \end{array} \end{gathered} \tag{1} \]

よって、$(1)$ の符号の対応表から、

狭義単調関数には逆関数が存在する

区間 $[x_1,x_2]$ の狭義単調関数 $f$ が与えられたとき、区間 $[f(x_1),f(x_2)]$ の逆関数 $f^{-1}$ が存在する。

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