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ラグランジュの平均値の定理

ラグランジュの平均値の定理

ラグランジュの平均値の定理 (Lagrange’s mean value theorem) とは、函数 f(x)f(x) が、閉区間 [a,b][a,b] において連続かつ、開区間 (a,b)(a,b) において微分可能なとき、線 ABAB と平行な接線をもつ点が aabb の間に存在するという主張。

mean-value-theorem


ラグランジュの平均値の定理:

a<ba<b とし、f(x)f(x) を閉区間 [a,b][a,b] で連続で、開区間 (a,b)(a,b) で微分可能な函数とする。このとき開区間 (a,b)(a,b) 上にある点 cc が存在して、

f(b)f(a)ba=f(c) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime({c})

が成り立つ。


ラグランジュの平均値の定理の証明:

proof

g(x)=f(x)f(b)f(a)ba(xa) g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

とする。g(x)g(x) は、閉区間 [a,b][a,b] において連続かつ、開区間 (a,b)(a,b) において微分可能な函数であり、

g(a)=f(a)f(a)f(a)ba(aa)=f(a)g(b)=f(b)f(b)f(a)ba(ba)=f(a) \begin{aligned} g(a) &= f(a) - \frac{f(a)-f(a)}{b-a}(a-a) \cr &= f(a) \cr g(b) &= f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) \cr &= f(a) \end{aligned}

より、g(a)=g(b)g(a)=g(b) である。

これにより g(x)g(x) はロルの定理の条件を満たすため、g(c)=0, a<c<bg^\prime({c})=0,~a<c<b を満たす cc は存在する。また、

g(x)=[f(x)f(b)f(a)ba(xa)]=[f(x)f(b)f(a)bax+f(b)f(a)baa]=f(x)f(b)f(a)ba \begin{aligned} g^\prime(x) &= \left[f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]^\prime \cr &= \left[f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\right]^\prime \cr &= f^\prime(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned}

により、x=cx=c における f(c)f^\prime({c}) は、

g(x)=f(c)f(b)f(a)ba=0f(c)=f(b)f(a)ba \begin{aligned} g^\prime(x) &= f^\prime({c}) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \cr f^\prime({c}) &= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned}

である。よって閉区間 [a,b][a,b] で連続で、開区間 (a,b)(a,b) で微分可能な函数 f(x)f(x) には、開区間 (a,b)(a,b) 上に、

f(b)f(a)ba=f(c) \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime({c})

を満たす点 cc が存在する。

参考文献

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