ラグランジュの平均値の定理

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ラグランジュの平均値の定理

ラグランジュの平均値の定理 (Lagrange’s mean value theorem) とは、函数 $f(x)$ が、閉区間 $[a,b]$ において連続かつ、開区間 $(a,b)$ において微分可能なとき、線 $AB$ と平行な接線をもつ点が $a$ と $b$ の間に存在するという主張。

ラグランジュの平均値の定理：

$a<b$ とし、 $f(x)$ を閉区間 $[a,b]$ で連続で、開区間 $(a,b)$ で微分可能な函数とする。このとき開区間 $(a,b)$ 上にある点 $c$ が存在して、

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime({c})$

が成り立つ。

ラグランジュの平均値の定理の証明：

$g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

とする。 $g(x)$ は、閉区間 $[a,b]$ において連続かつ、開区間 $(a,b)$ において微分可能な函数であり、

$\begin{aligned} g(a) &= f(a) - \frac{f(a)-f(a)}{b-a}(a-a) \cr &= f(a) \cr g(b) &= f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) \cr &= f(a) \end{aligned}$

より、 $g(a)=g(b)$ である。

これにより $g(x)$ はロルの定理の条件を満たすため、 $g^\prime({c})=0,~a<c<b$ を満たす $c$ は存在する。また、

$\begin{aligned} g^\prime(x) &= \left[f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]^\prime \cr &= \left[f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\right]^\prime \cr &= f^\prime(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned}$

により、 $x=c$ における $f^\prime({c})$ は、

$\begin{aligned} g^\prime(x) &= f^\prime({c}) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \cr f^\prime({c}) &= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{aligned}$

である。よって閉区間 $[a,b]$ で連続で、開区間 $(a,b)$ で微分可能な函数 $f(x)$ には、開区間 $(a,b)$ 上に、

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime({c})$

を満たす点 $c$ が存在する。

参考文献

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