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中線定理

#初等数学 #線型代数学

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中線定理

中線定理 (英：parallelogram law) とは、三角形の中線の長さと、中線が交わる対辺の長さの関係を表す定理のこと。

∥a+b∥2+∥a−b∥2=2(∥a∥2+∥b∥2) \def\b{\boldsymbol} \Vert\b{a}+\b{b}\Vert^2 + \Vert\b{a}-\b{b}\Vert^2 = 2(\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2)


中線定理の証明：

parallelogram_law

AM→=MC→=aMB→=bAB→=a+bBC→=a−b∠AMB=θ∠CMB=π−θ∥a+b∥2=∥a∥2+∥b∥2−2∥a∥∥b∥cos⁡θcos⁡θ=∥a∥2+∥b∥2−∥a+b∥22∥a∥∥b∥∥a−b∥2=∥a∥2+∥b∥2−2∥a∥∥b∥cos⁡(π−θ)cos⁡(π−θ)=∥a∥2+∥b∥2−∥a−b∥22∥a∥∥b∥∵cos⁡θ=−cos⁡(π−θ)∥a∥2+∥b∥2−∥a+b∥22∥a∥∥b∥=−∥a∥2+∥b∥2−∥a−b∥22∥a∥∥b∥∥a∥2+∥b∥2−∥a+b∥2=−(∥a∥2+∥b∥2)+∥a−b∥2∴∥a+b∥2+∥a−b∥2=2(∥a∥2+∥b∥2) \def\b{\boldsymbol} \def\v{\overrightarrow} \begin{gathered} \begin{aligned} \v{\text{AM}} &= \v{\text{MC}} = \b{a} \cr \v{\text{MB}} &= \b{b} \cr \cr \v{\text{AB}} &= \b{a}+\b{b} \cr \v{\text{BC}} &= \b{a}-\b{b} \cr \cr \angle\text{AMB} &= \theta \cr \angle\text{CMB} &= \pi-\theta \cr \end{aligned} \cr \cr \begin{aligned} \Vert\b{a}+\b{b}\Vert^2 &= \Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - 2\Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert\cos\theta \cr \cos\theta &= \frac{\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - \Vert\b{a}+\b{b}\Vert^2}{2\Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert} \cr \cr \Vert\b{a}-\b{b}\Vert^2 &= \Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - 2\Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert\cos(\pi-\theta) \cr \cos(\pi-\theta) &= \frac{\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - \Vert\b{a}-\b{b}\Vert^2}{2\Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert} \end{aligned} \cr \cr \because \cos\theta = -\cos(\pi-\theta) \cr \cr \begin{aligned} \frac{\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - \Vert\b{a}+\b{b}\Vert^2}{2\Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert} &= -\frac{\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - \Vert\b{a}-\b{b}\Vert^2}{2\Vert\b{a}\Vert\Vert\b{b}\Vert} \cr \Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2 - \Vert\b{a}+\b{b}\Vert^2 &= -(\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2) + \Vert\b{a}-\b{b}\Vert^2 \cr \end{aligned} \cr \cr \therefore \Vert\b{a}+\b{b}\Vert^2 + \Vert\b{a}-\b{b}\Vert^2 = 2(\Vert\b{a}\Vert^2+\Vert\b{b}\Vert^2) \end{gathered}

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