中線定理
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中線定理
中線定理 (英:parallelogram law) とは、三角形の中線の長さと、中線が交わる対辺の長さの関係を表す定理のこと。
∥a+b∥2+∥a−b∥2=2(∥a∥2+∥b∥2)
中線定理の証明:
AMMBABBC∠AMB∠CMB=MC=a=b=a+b=a−b=θ=π−θ∥a+b∥2cosθ∥a−b∥2cos(π−θ)=∥a∥2+∥b∥2−2∥a∥∥b∥cosθ=2∥a∥∥b∥∥a∥2+∥b∥2−∥a+b∥2=∥a∥2+∥b∥2−2∥a∥∥b∥cos(π−θ)=2∥a∥∥b∥∥a∥2+∥b∥2−∥a−b∥2∵cosθ=−cos(π−θ)2∥a∥∥b∥∥a∥2+∥b∥2−∥a+b∥2∥a∥2+∥b∥2−∥a+b∥2=−2∥a∥∥b∥∥a∥2+∥b∥2−∥a−b∥2=−(∥a∥2+∥b∥2)+∥a−b∥2∴∥a+b∥2+∥a−b∥2=2(∥a∥2+∥b∥2)
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