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余弦定理

余弦定理

余弦定理 (英:law of cosine, cosine formula) とは、三角形の辺の長さと内角の余弦の間の関係を表した定理のこと。余弦定理には第二余弦定理とその補題である第一余弦定理があり、一般に余弦定理と言う場合は第二余弦定理を指す。

triangle


第一余弦定理:

\[ \begin{aligned} a &= b\cos\gamma + c\cos\beta \cr b &= c\cos\alpha + a\cos\gamma \cr c &= a\cos\beta + b\cos\alpha \end{aligned} \]


第二余弦定理:

\[ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \cr b^2 &= c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta \cr c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \end{aligned} \]


余弦定理の証明:

triangle

\[ \begin{aligned} a^2 &= (b\sin\alpha)^2 + (c-b\cos\alpha)^2 \cr &= b^2\sin^2\alpha + c^2 + b^2\cos^2\alpha - 2bc\cos\alpha \cr &= b^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + c^2 - 2bc\cos\alpha \cr \cr \therefore a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \end{aligned} \]

$b^2 , c^2$ も同様に導出できる。

\[ \begin{aligned} b^2 &= c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta \cr c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \end{aligned} \]

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