リーマン積分

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リーマン積分とは

リーマン積分 (英：Riemann integral) とは、閉区間 $\lbrack a,b\rbrack$ の実関数 $f$ において、次の条件を満たすリーマン和のこと。この条件を満たせることをリーマン積分可能 (英：Riemann Integrable) という。リーマン積分は、定積分 (英：definite integral) とも呼ばれる。

$\begin{gathered} \forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0 ~\left(|x_i-x_{i-1}|\lt\delta\rArr\left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\varDelta x_i-S\right|\lt\varepsilon\right) \cr \Updownarrow \cr \int_a^b{f(x)~dx} = \lim_{\varDelta x_i\to 0}\sum f(\xi_i)\varDelta x_i \\ \\ a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b \\ \begin{aligned} \varDelta x_i &= x_i-x_{i-1} \\ \xi_i &\in [x_{i-1},x_i] \end{aligned} \end{gathered}$

リーマン和

閉区間 $\lbrack a,b\rbrack$ に実関数 $f$ が定義され、 $\lbrack a,b\rbrack$ を $n$ 個の小区間 (英：subinterval) に分割する。このとき代表点 $\xi_i$ から得られる実関数の値 $f(\xi_i)$ と小区間の長さ $\varDelta x_i$ の積の総和 $S$ をリーマン和 (英：Riemann sum) という。

$\begin{gathered} S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\varDelta x_i \\ \\ a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b \\ \begin{aligned} \varDelta x_i &= x_i-x_{i-1} \\ \xi_i &\in [x_{i-1},x_i] \end{aligned} \end{gathered}$

リーマン和と区分求積法

不定積分

閉区間 $[a,b]$ に実関数 $f$ が定義され、変数 $x\in[a,b]$ をとるとき、閉区間 $[a,x]$ の定積分を得る関数 $F$ を定義できる。このとき $F(x)$ を不定積分 (英：indefinite integral) という。

$F(x) = \int_a^x f(x)~\mathrm dx \quad (x\in[a,b])$

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