はさみうちの定理
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はさみうちの定理
はさみうちの定理 (英：squeeze theorem) とは、同じ極限を持つ数列・関数に挟まれた数列・関数も同じ極限を持つという定理。
数列の場合
数列 $\lbrace a_n\rbrace,\lbrace b_n\rbrace,\lbrace c_n\rbrace$ が常に $a_n\le b_n\le c_n$ であり、かつ $\lbrace a_n\rbrace,\lbrace c_n\rbrace$ が収束するとき、$\lbrace b_n\rbrace$ に対して次式が成り立つ。
\[ \begin{aligned} \left(\lim_{n\to\infty} a_n = L,\lim_{n\to\infty} c_n = L\right)\rArr\lim_{n\to\infty}b_n=L \end{aligned} \]
数列の場合の証明：
数列 $\lbrace a_n\rbrace,\lbrace c_n\rbrace$ が同じ極限 $L$ を持つことから、
\[ \begin{gathered} \lim_{n\to 0} a_n = \alpha \cr \Updownarrow \cr \forall\varepsilon\gt 0,\exists{N}\in\N,\forall{n}\in\N ~(n\gt N \rArr |a_n-L|\lt\varepsilon) \cr \cr \lim_{i\to 0} b_i = \alpha \cr \Updownarrow \cr \forall\varepsilon\gt 0,\exists{N}\in\N,\forall{n}\in\N ~(n\gt N \rArr |b_n-L|\lt\varepsilon) \cr \cr L-\varepsilon\lt a_n\lt L+\varepsilon \cr L-\varepsilon\lt b_n\lt L+\varepsilon \cr \end{gathered} \]
$a_n\le b_n\le c_n$ により、
\[ \begin{gathered} L-\varepsilon\lt a_n\le b_n\le c_n\lt L+\varepsilon \cr \cr \therefore \lim_{b\to\infty}b_n=L \end{gathered} \]
関数の場合
実関数 $f,g,h$ が常に $f(x)\le g(x)\le h(x)$ であり、かつに $x\to c$ において $f(x),h(x)$ が収束するとき、次式が成り立つ。
\[ \left(\lim_{x\to c} f(x)=L,\lim_{x\to c}h(x)=L\right)\rArr\lim_{x\to c}g(x)=L \]
関数の場合の証明：
$f(x),h(x)$ が $x\to c$ に対して 同じ極限 $L$ を持つことから、
\[ \begin{gathered} \lim_{x\to c} f(x) = L \cr \Updownarrow \cr \forall\varepsilon\gt 0,\exist\delta\gt 0,\forall{x}\in\R ~(0\lt |x-c|\lt\delta\Rarr|f(x)-L|\lt\varepsilon) \cr \cr \lim_{x\to c} h(x) = L \cr \Updownarrow \cr \forall\varepsilon\gt 0,\exist\delta\gt 0,\forall{x}\in\R ~(0\lt |x-c|\lt\delta\Rarr|h(x)-L|\lt\varepsilon) \cr \cr L-\varepsilon\lt f(x)\lt L+\varepsilon \cr L-\varepsilon\lt h(x)\lt L+\varepsilon \cr \end{gathered} \]
$f(x)\le g(x)\le h(x)$ により、
\[ \begin{gathered} L-\varepsilon\lt f(x)\le g(x)\le h(x)\lt L+\varepsilon \cr \cr \therefore \lim_{x\to c}g(x)=L \end{gathered} \]