モーメント
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モーメントとは
モーメント (英：moment) とは、次式で求められる定点 $c$ に対する関数 $f$ の特性を測る指標のこと。
\[ \mu_k(c) = \begin{cases} \displaystyle \sum_x (x-c)^kf(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (x-c)^k f(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \]
k-次モーメント
定点を $0$ としたモーメントを (原点の周りの) $k$-次モーメントという。
\[ \begin{aligned} \mu_k^\prime &= \mu_k(0) \cr &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x x^kf(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty x^k f(x)~dx & \text{if continuous} \end{cases} \end{aligned} \]
また、$f$ が確率質量関数あるいは確率密度関数 $p$ である $1$-次モーメントは期待値と同値である。$1$-次モーメントは、$p$ を用いた分布の中心がどこにあるのかを示す。
\[ \begin{aligned} E(X) &= \mu^\prime_1 \\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x xp(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty xp(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \end{aligned} \]
中心モーメント
確率論において、定点を期待値とした $k$-次モーメントを $\boldsymbol k$-次中心モーメント (英：n-th order center moment) という。
\[ \mu_k(\mu_1^\prime) \]
また、$2$-次中心モーメントは分散と同値である。$2$-次中心モーメントは、$p$ を用いた分布の中心付近において、その分布がどれほどバラけているか (あるいは集中しているか) を示す。
\[ \begin{aligned} V(X) &= \mu_2(\mu^\prime_1) \\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x (x-\mu^\prime_1)^2 p(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (x-\mu^\prime_1)^2 p(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \end{aligned} \]
標準化モーメント
標準化モーメント (英：standardized moment) とは、中心モーメントの偏差項に標準化を施したモーメントのこと。$k$-次標準化モーメントは次式のように定義される。
\[ \begin{gathered} E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^k\right] = \begin{cases} \displaystyle\sum_x\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^k p(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^k p(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \\ \\ \begin{aligned} \mu &: \text{expected value} \\ \sigma &: \text{standard deviation} \end{aligned} \end{gathered} \]
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参考文献
