モーメント

#確率論

Contents

モーメントとは

モーメント (英：moment) とは、次式で求められる定点 $c$ に対する関数 $f$ の特性を測る指標のこと。

$\mu_k(c) = \begin{cases} \displaystyle \sum_x (x-c)^kf(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (x-c)^k f(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases}$

k-次モーメント

定点を $0$ としたモーメントを (原点の周りの) $k$ -次モーメントという。

$\begin{aligned} \mu_k^\prime &= \mu_k(0) \cr &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x x^kf(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty x^k f(x)~dx & \text{if continuous} \end{cases} \end{aligned}$

また、 $f$ が確率質量関数あるいは確率密度関数 $p$ である $1$ -次モーメントは期待値と同値である。 $1$ -次モーメントは、 $p$ を用いた分布の中心がどこにあるのかを示す。

$\begin{aligned} E(X) &= \mu^\prime_1 \\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x xp(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty xp(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \end{aligned}$

中心モーメント

確率論において、定点を期待値とした $k$ -次モーメントを $\boldsymbol k$ -次中心モーメント (英：n-th order center moment) という。

$\mu_k(\mu_1^\prime)$

また、 $2$ -次中心モーメントは分散と同値である。 $2$ -次中心モーメントは、 $p$ を用いた分布の中心付近において、その分布がどれほどバラけているか (あるいは集中しているか) を示す。

$\begin{aligned} V(X) &= \mu_2(\mu^\prime_1) \\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x (x-\mu^\prime_1)^2 p(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (x-\mu^\prime_1)^2 p(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \end{aligned}$

標準化モーメント

標準化モーメント (英：standardized moment) とは、中心モーメントの偏差項に標準化を施したモーメントのこと。 $k$ -次標準化モーメントは次式のように定義される。

$\begin{gathered} E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^k\right] = \begin{cases} \displaystyle\sum_x\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^k p(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^k p(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \\ \\ \begin{aligned} \mu &: \text{expected value} \\ \sigma &: \text{standard deviation} \end{aligned} \end{gathered}$

参考文献

基礎から学ぶトラヒック理論

posted with amazlet at 19.09.29

稲井寛
森北出版
売り上げランキング: 43,700

Amazon.co.jpで詳細を見る

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

posted with amazlet at 19.09.30

東京大学出版会
売り上げランキング: 3,194