分散とは
分散 (英:variance) とは、確率変数 X の値が期待値 E(X) からどの程度ばらけているかを示す非負の値のこと。
V(X)=E((X−E(X))2)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x∑(x−E(X))2P(x)∫−∞∞(x−E(X))2p(x) dxif discreteif continuous
分散の諸定理
(V1)(V2)(V3):V(aX)=a2V(X):V(X+a)=V(X):V(X)=E(X2)−E(X)2
(V1) の導出:
V(aX)∴V(aX)=E((aX−E(aX)2)=E((aX−aE(X)2)=E(a2(X−E(X)2)=a2E((X−E(X)2)=a2V(X)=a2V(X)
(V2) の導出:
V(X+a)∴V(X+a)=E(((X+a)−E(X+a))2)=E((X+a−E(X)−a)2)=E((X−E(X))2)=V(X)=V(X)
(V3) の導出:
V(X)∴V(X)=E((X−E(X))2)=E(X2−2E(X)+E(X)2)=E(X2)−2E(X)2+E(X)2=E(X2)−E(X)2=E(X2)−E(X)2
分散の加法性
二つの確率変数 X,Y に対して、X,Y が無相関であるとき、次式が成り立つ。独立であることは無相関でもあるので、X,Y が独立である場合も成り立つ。
V(X±Y)=V(X)+V(Y)(cov(X,Y)=0)
分散の加法性の証明:
共分散の諸定理から、
V(X±Y)∴V(X±Y)=V(X)+V(Y)±2cov(X,Y)=V(X)+V(Y)∵cov(X,Y)=0=V(X)+V(Y)
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参考文献