blue271828's misc :-)

分散

#確率論

Contents

分散とは

分散 (英：variance) とは、確率変数 XX の値が期待値 E(X)E(X) からどの程度ばらけているかを示す非負の値のこと。

V(X)=E((X−E(X))2)={∑x(x−E(X))2P(x)if discrete∫−∞∞(x−E(X))2p(x) dxif continuous \begin{aligned} V(X) &= E((X-E(X))^2) \\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x(x-E(X))^2P(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (x-E(X))^2p(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \end{aligned}

分散の諸定理

(V1):V(aX)=a2V(X)(V2):V(X+a)=V(X)(V3):V(X)=E(X2)−E(X)2 \begin{aligned} \text{(V1)} &: V(aX) = a^2 V(X) \\ \text{(V2)} &: V(X+a) = V(X) \\ \text{(V3)} &: V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \\ \end{aligned}

(V1)\bold{(V1)} の導出：

V(aX)=E((aX−E(aX)2)=E((aX−aE(X)2)=E(a2(X−E(X)2)=a2E((X−E(X)2)=a2V(X)∴V(aX)=a2V(X) \begin{aligned} V(aX) &= E((aX-E(aX)^2) \cr &= E((aX-aE(X)^2) \cr &= E(a^2(X-E(X)^2) \cr &= a^2 E((X-E(X)^2) \cr &= a^2 V(X) \cr \cr \therefore V(aX) &= a^2 V(X) \end{aligned}

(V2)\bold{(V2)} の導出：

V(X+a)=E(((X+a)−E(X+a))2)=E((X+a−E(X)−a)2)=E((X−E(X))2)=V(X)∴V(X+a)=V(X) \begin{aligned} V(X+a) &= E(((X+a)-E(X+a))^2) \cr &= E((X+a-E(X)-a)^2) \cr &= E((X-E(X))^2) \cr &= V(X) \cr \cr \therefore V(X+a) &= V(X) \end{aligned}

(V3)\bold{(V3)} の導出：

V(X)=E((X−E(X))2)=E(X2−2E(X)+E(X)2)=E(X2)−2E(X)2+E(X)2=E(X2)−E(X)2∴V(X)=E(X2)−E(X)2 \begin{aligned} V(X) &= E((X-E(X))^2) \\ &= E(X^2-2E(X)+E(X)^2)\\ &= E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2 \\ &= E(X^2) - E(X)^2 \cr \cr \therefore V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \end{aligned}

分散の加法性

二つの確率変数 X,YX,Y に対して、X,YX,Y が無相関であるとき、次式が成り立つ。独立であることは無相関でもあるので、X,YX,Y が独立である場合も成り立つ。

V(X±Y)=V(X)+V(Y)(cov(X,Y)=0) V(X\pm Y) = V(X) + V(Y) \quad (\mathrm{cov}(X,Y)=0)


分散の加法性の証明：

共分散の諸定理から、

V(X±Y)=V(X)+V(Y)±2cov(X,Y)=V(X)+V(Y)∵cov(X,Y)=0∴V(X±Y)=V(X)+V(Y) \begin{aligned} V(X\pm Y) &= V(X)+V(Y)\pm 2\mathrm{cov}(X,Y) \\ &= V(X)+V(Y) \quad \because \mathrm{cov}(X,Y)=0 \\ \\ \therefore V(X\pm Y) &= V(X) + V(Y) \end{aligned}

関連記事

参考文献

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)
統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)
posted with amazlet at 19.09.30

東京大学出版会
売り上げランキング: 3,194
Amazon.co.jpで詳細を見る

Tags

#Ansible (3) #Bash (1) #Docker (1) #Git (2) #Hugo (2) #Molecule (1) #Python (1) #WSLtty (1) #アルゴリズム (4) #ビジネス用語 (1) #プログラミング (1) #位相空間論 (8) #初等数学 (20) #初等関数 (1) #実解析 (1) #幾何学 (3) #微分積分学 (18) #情報理論 (4) #抽象代数学 (14) #数理モデル (2) #数理論理学 (21) #機械学習 (3) #正規表現 (1) #測度論 (3) #特殊関数 (4) #確率論 (18) #組合せ論 (5) #統計学 (12) #線型代数学 (18) #複素解析学 (4) #解析学 (15) #論理学 (6) #順序集合論 (9)