分散とは

分散 (英：variance) とは、確率変数 $X$ の値が期待値 $E(X)$ からどの程度ばらけているかを示す非負の値のこと。

\[ \begin{aligned} V(X) &= E((X-E(X))^2) \\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_x(x-E(X))^2P(x) & \text{if discrete} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (x-E(X))^2p(x)~dx & \text{if continuous} \\ \end{cases} \end{aligned} \]

分散の諸定理

\[ \begin{aligned} \text{(V1)} &: V(aX) = a^2 V(X) \\ \text{(V2)} &: V(X+a) = V(X) \\ \text{(V3)} &: V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \\ \end{aligned} \]

$\bold{(V1)}$ の導出：

\[ \begin{aligned} V(aX) &= E((aX-E(aX)^2) \cr &= E((aX-aE(X)^2) \cr &= E(a^2(X-E(X)^2) \cr &= a^2 E((X-E(X)^2) \cr &= a^2 V(X) \cr \cr \therefore V(aX) &= a^2 V(X) \end{aligned} \]

$\bold{(V2)}$ の導出：

\[ \begin{aligned} V(X+a) &= E(((X+a)-E(X+a))^2) \cr &= E((X+a-E(X)-a)^2) \cr &= E((X-E(X))^2) \cr &= V(X) \cr \cr \therefore V(X+a) &= V(X) \end{aligned} \]

$\bold{(V3)}$ の導出：

\[ \begin{aligned} V(X) &= E((X-E(X))^2) \\ &= E(X^2-2E(X)+E(X)^2)\\ &= E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2 \\ &= E(X^2) - E(X)^2 \cr \cr \therefore V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \end{aligned} \]

分散の加法性

二つの確率変数 $X,Y$ に対して、$X,Y$ が無相関であるとき、次式が成り立つ。独立であることは無相関でもあるので、$X,Y$ が独立である場合も成り立つ。

\[ V(X\pm Y) = V(X) + V(Y) \quad (\mathrm{cov}(X,Y)=0) \]

分散の加法性の証明：

共分散の諸定理から、

\[ \begin{aligned} V(X\pm Y) &= V(X)+V(Y)\pm 2\mathrm{cov}(X,Y) \\ &= V(X)+V(Y) \quad \because \mathrm{cov}(X,Y)=0 \\ \\ \therefore V(X\pm Y) &= V(X) + V(Y) \end{aligned} \]

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参考文献

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

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