マルコフの不等式

#確率論

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マルコフの不等式とは

マルコフの不等式 (英：Markov's inequality) とは、ある定数以上の非負な確率変数において、その確率変数との期待値との関係を表した次のような不等式のこと。

$P(X\ge a)\le\frac{E[X]}{a} \quad (X\ge 0)$

マルコフの不等式の証明 (連続)：

$\begin{aligned} E[X] &= \int_0^\infty xf(x)~\mathrm dx \quad (X\ge 0) \cr &\ge \int_a^\infty xf(x)~\mathrm dx \quad\because 0\le a\le X \cr &\qquad \ge \int_a^\infty af(x)~\mathrm dx \cr &\qquad\qquad = aP(X\ge a) \cr \cr \therefore P(X\ge a) &\le \frac{E[X]}{a} \quad (X\ge 0) \end{aligned}$

マルコフの不等式の証明 (離散)：

$\begin{aligned} E[X] &= \sum_{k=0}^\infty kp(k) \cr &\ge \sum_{k=a}^\infty kp(k) \quad \because 0\le a\le X \cr &\qquad \ge \sum_{k=a}^\infty ap(k) \cr &\qquad\qquad = aP(X\ge a) \cr \cr \therefore P(X\ge a) &\le \frac{E[X]}{a} \quad (X\ge 0) \end{aligned}$

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