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ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理とは

ド・モアブルの定理 (英:de Moivre’s theorem) とは、複素数 cosθ+isinθ\cos\theta + i\sin\theta および整数 nn に対して、次式が成り立つという定理。

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta}


ド・モアブルの定理の証明:

(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)(1) (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \tag{1}

を仮定する。 n=0n=0 のとき、

(cosθ+isinθ)0=cos(0θ)+isin(0θ)1=1 \begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^0 &= \cos(0\cdot\theta) + i\sin(0\cdot\theta) \cr 1 &= 1 \end{aligned}

n=m+1, mZ+n=m+1, ~m\in\Z^+ のとき、

(cosθ+isinθ)m+1=(cosθ+isinθ)m(cosθ+isinθ)=[cos(mθ)+isin(mθ)](cosθ+isinθ)=cos(mθ)cosθsin(mθ)sinθ+i[cos(mθ)sinθ+sin(mθ)cosθ]=cos(mθ+θ)+icos(mθ+θ)=cos[(m+1)θ]+1cos[(m+1)θ] \begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^{m+1} &= (\cos\theta + i\sin\theta)^m(\cos\theta + i\sin\theta) \cr &= [\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)](\cos\theta + i\sin\theta) \cr &= \cos(m\theta)\cos\theta - \sin(m\theta)\sin\theta + i[\cos(m\theta)\sin\theta+\sin(m\theta)\cos\theta] \cr &= \cos(m\theta+\theta) + i\cos(m\theta+\theta) \cr &= \cos[(m+1)\theta] + 1\cos[(m+1)\theta] \end{aligned}

となり、数学的帰納法により nZ+n\in\Z^+ のときに (1)(1) は成り立つ。

さらに n=m, mZ+n = -m, ~m\in\Z^+ とすると、

(cosθ+isinθ)m=1(cosθ+isinθ)m \begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^{-m} &= \frac{1}{(\cos\theta + i\sin\theta)^m} \end{aligned}

mZ+m\in\Z^+ のとき、(1)(1) が成り立つことから、

(cosθ+isinθ)m=1(cosθ+isinθ)m=1cos(mθ)+isin(mθ)=cos(mθ)isin(mθ)cos2(mθ)+sin2(mθ)=cos(mθ)isin(mθ)=cos(mθ)+isin(mθ) \begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^{-m} &= \frac{1}{(\cos\theta + i\sin\theta)^m} \cr &= \frac{1}{\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)} \cr &= \frac{\cos(m\theta) - i\sin(m\theta)}{\cos^2(m\theta) + \sin^2(m\theta)} \cr &= \cos(m\theta) - i\sin(m\theta) \cr &= \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta) \end{aligned}

となり、nZn\in\Z^- においても (1)(1) は成り立つ。

以上より、(1)(1) は、nZn\in\Z において成り立つ。

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