ド・モアブルの定理とは
ド・モアブルの定理 (英:de Moivre’s theorem) とは、複素数 cosθ+isinθ および整数 n に対して、次式が成り立つという定理。
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
ド・モアブルの定理の証明:
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)(1)
を仮定する。 n=0 のとき、
(cosθ+isinθ)01=cos(0⋅θ)+isin(0⋅θ)=1
n=m+1, m∈Z+ のとき、
(cosθ+isinθ)m+1=(cosθ+isinθ)m(cosθ+isinθ)=[cos(mθ)+isin(mθ)](cosθ+isinθ)=cos(mθ)cosθ−sin(mθ)sinθ+i[cos(mθ)sinθ+sin(mθ)cosθ]=cos(mθ+θ)+icos(mθ+θ)=cos[(m+1)θ]+1cos[(m+1)θ]
となり、数学的帰納法により n∈Z+ のときに (1) は成り立つ。
さらに n=−m, m∈Z+ とすると、
(cosθ+isinθ)−m=(cosθ+isinθ)m1
m∈Z+ のとき、(1) が成り立つことから、
(cosθ+isinθ)−m=(cosθ+isinθ)m1=cos(mθ)+isin(mθ)1=cos2(mθ)+sin2(mθ)cos(mθ)−isin(mθ)=cos(mθ)−isin(mθ)=cos(−mθ)+isin(−mθ)
となり、n∈Z− においても (1) は成り立つ。
以上より、(1) は、n∈Z において成り立つ。
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