ド・モアブルの定理

#複素解析学

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ド・モアブルの定理とは

ド・モアブルの定理 (英：de Moivre’s theorem) とは、複素数 $\cos\theta + i\sin\theta$ および整数 $n$ に対して、次式が成り立つという定理。

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta}$

ド・モアブルの定理の証明：

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \tag{1}$

を仮定する。 $n=0$ のとき、

$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^0 &= \cos(0\cdot\theta) + i\sin(0\cdot\theta) \cr 1 &= 1 \end{aligned}$

$n=m+1, ~m\in\Z^+$ のとき、

$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^{m+1} &= (\cos\theta + i\sin\theta)^m(\cos\theta + i\sin\theta) \cr &= [\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)](\cos\theta + i\sin\theta) \cr &= \cos(m\theta)\cos\theta - \sin(m\theta)\sin\theta + i[\cos(m\theta)\sin\theta+\sin(m\theta)\cos\theta] \cr &= \cos(m\theta+\theta) + i\cos(m\theta+\theta) \cr &= \cos[(m+1)\theta] + 1\cos[(m+1)\theta] \end{aligned}$

となり、数学的帰納法により $n\in\Z^+$ のときに $(1)$ は成り立つ。

さらに $n = -m, ~m\in\Z^+$ とすると、

$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^{-m} &= \frac{1}{(\cos\theta + i\sin\theta)^m} \end{aligned}$

$m\in\Z^+$ のとき、 $(1)$ が成り立つことから、

$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^{-m} &= \frac{1}{(\cos\theta + i\sin\theta)^m} \cr &= \frac{1}{\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)} \cr &= \frac{\cos(m\theta) - i\sin(m\theta)}{\cos^2(m\theta) + \sin^2(m\theta)} \cr &= \cos(m\theta) - i\sin(m\theta) \cr &= \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta) \end{aligned}$

となり、 $n\in\Z^-$ においても $(1)$ は成り立つ。

以上より、 $(1)$ は、 $n\in\Z$ において成り立つ。

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