写像
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写像とは
始集合 $A$ と終集合 $B$ が与えられたとき、次の規則を満たす対応 $f:A\to B$ のことを写像 (英：map) という。写像 $f$ の定義域は $A$ と等しい。
\[ \begin{aligned} \text{左全域性} &: (\forall a\in A \rArr \exists b \in B) \land ~ \lang a,b\rang \in G_f \cr \text{右一意性} &: \lang a,b \rang \in G_f \land \lang a,c \rang \in G_f \rArr b = c \cr \end{aligned} \]
- 左全域性 (英：left-total)：
写像 $f$ の定義域は始集合 $A$ と等しい。 - 右一意性 (英：right-unique)：
定義域の元に対し、値域の元がただ一つ対応する。
また写像 $f$ が与えられたとき、終域の部分集合 $Q$ の逆像を $f$ による逆像 (英：inverse image) と呼ぶ。
\[ f^{-1}(Q) := \lbrace a\mid f(a)\in Q\rbrace \]
全射
全射 (英：surjection) とは、値域が終集合に等しい写像のこと。始集合 $A$ と終集合 $B$ を持つ写像 $f$ が全射であるとき、写像 $f$ は次式で定義される。
\[ f:A\twoheadrightarrow B :\lArr \forall b\exists a(f(a)=b) \]
単射
単射 (英：injectiion) とは、値域の各元が定義域の各元の唯一の像である写像のこと。始集合 $A$ と終集合 $B$ を持つ写像 $f$ が単射であるとき、写像 $f$ は次式で定義される。
\[ f:A\hookrightarrow B :\lArr \forall a_1,a_2(f(a_1)=f(a_2)\rArr a_1=a_2) \]
全単射
全単射 (英：bijection) とは、全射かつ単射であること。始集合 $A$ と終集合 $B$ を持つ写像 $f$ が全単射であるとき、写像 $f$ は次式で表される。また全単射な写像の逆対応を逆写像 (英：inverse map) と呼ぶ。
\[ f:A\lrarr B \]
恒等写像
恒等写像 (英：identity map) とは、定義域と値域が等しいかつ像と逆像が等しい写像のこと。集合 $A$ 上の恒等写像を $\operatorname{id}_A$ で表す。
\[ \operatorname{id}_A(a) = a \quad (a\in A) \]
関数
写像 $f$ の値域が何かしらの数の集合であるとき、$f$ を関数 (英：function) という。
エピグラフ
実関数 $f:\R^n\to\R$ のグラフにおいて、$f$ の上側の領域をエピグラフ (英：epigraph) という。
\[ \operatorname{epi}f = \lbrace\lang x,\mu\rang: x\in\R^n,\mu\in\R,\mu\ge f(x)\rbrace\sube\R^{n+1} \]
ハイポグラフ
実関数 $f:\R^n\to\R$ のグラフにおいて、$f$ の下側の領域をハイポグラフ (英：hypograph) という。
\[ \operatorname{hyp}f = \lbrace\lang x,\mu\rang: x\in\R^n,\mu\in\R,\mu\le f(x)\rbrace\sube\R^{n+1} \]
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参考文献
