対応とは
集合 A から集合 B への 対応 (英：correspondence) とは、A の元 a から、B の部分集合 Γ(a) を定める規則 Γ のこと。このとき、Γ(a) を Γ による a の像 (英：image)、A を Γ の始集合 (英：initial set)、B を Γ の終集合 (英：final set) と呼ぶ。A から B への Γ は次式で表される。
Γ:A→B
対応は始集合の元に伴う、終集合の元の割り当てを広く指す概念であるため、以下全てを許容する。
- 始集合の元 a∈A から、終集合の元 b∈B への一対一の割り当て
- 始集合の元 a∈A から、終集合の元 b∈B への一対多の割り当て
- 始集合の元 a∈A から、終集合の元 b∈B への多対一の割り当て
- 始集合の元 a∈A から、終集合の元 b∈B への一対零の割り当て
対応の相等
集合 A から集合 B への対応 Γ1,Γ2 が与えられたとき、Γ1 または Γ2 によって定まる A の元 a において像 Γ1(a) と像 Γ2(b) が常に等しい限り、Γ1 と Γ2 は等しい。
∀a (Γ1(a)=Γ2(a))⇔Γ1=Γ2
対応とグラフ
集合 A から集合 B への対応 Γ が与えられとき、A の元 a と像 Γ(a) の元 b の順序対からなる集合のことを Γ のグラフ (英：graph) と呼び G(Γ) で表す。また、G(Γ) は A と B の直積集合の部分集合である。対応とグラフの関係から、グラフがあれば対応が一意に存在し、対応があればグラフが一意に存在する。空のグラフもなり得る。
G(Γ):={(a,b)∣(a,b)∈A×B, b∈Γ(a)}
グラフの相等
グラフは対応により一意に定まることから、二つの対応が等しいとき、そのグラフもまた等しい。
G(Γ1)=G(Γ2)⇔Γ1=Γ2
逆対応
逆対応 (英：inverse correspondence) とは、対応 Γ のグラフ G(Γ) の順序対の順序を入れ替えたもの。また、逆対応により定まる Γ−1(b) を逆像 (英：inverse image) という。
G(Γ−1):={(b,a)∣(a,b)∈G(Γ)}
対応の定義域と値域
対応 Γ:A→B の定義域 (英：domain of definition) とは、対応のグラフにおいて、グラフに伴う終集合の元 b∈B が少なくとも一つ以上存在するときの始集合の元 a∈A の集まりのこと。
dom(Γ):={a∈A∣∃b∈B, (a,b)∈G(Γ)}
また反対に、グラフに伴う始集合の元 a∈A が少なくとも一つ以上存在するときの終集合の元 b∈B の集まりのことを、値域 (英：range of values) という。
ran(Γ):={b∈B∣∃a∈A, (a,b)∈G(Γ)}
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参考文献
松坂 和夫
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