順序対
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順序対とは
順序対 (英：ordered pair) とは、二つの数学的対象を対にし、前後の特徴付けをしたもの。順序対の集合論的定義には様々な定義が存在するが、ここではクラフトスキーの定義を記す。
\[ \lang x,y \rang := \lbrace\lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace\rbrace \]
順序対の相等
\[ \lang x,y \rang = \lang z,w \rang \lrArr x = z \land y = w \]
順序対の相等の導出： \( \begin{aligned} \lang x,y \rang &= \lbrace\lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace\rbrace \cr \lang z,w \rang &= \lbrace\lbrace z \rbrace, \lbrace z,w \rbrace\rbrace \cr \cr x = z &\lrArr \lbrace x \rbrace = \lbrace z \rbrace \cr x = z \land y = w &\lrArr \lbrace x,y \rbrace = \lbrace z,w \rbrace \cr &\lrArr \lbrace\lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace\rbrace = \lbrace\lbrace z \rbrace, \lbrace z,w \rbrace\rbrace \cr \cr \therefore \lang x,y \rang = \lang z,w \rang &\lrArr x = z \land y = w \end{aligned} \)
順序対から順序組へ
順序組 (英：ordered tuplet) とは、有限の長さの列のこと。任意の長さの順序組は、順序対の定義と数学的帰納法を用いて定義できる。
\[ \begin{aligned} () &:= \empty \cr (a_1) &:= \lbrace\lbrace a_1 \rbrace\rbrace \cr (a_1,a_2) &:= \lang a_1,a_2 \rang \cr (a_1,a_2,a_3) &:= \lang\lang a_1,a_2 \rang, a_3 \rang \cr &\enspace\vdots \cr (a_1,\cdots,a_n) &:= \lang\cdots\lang a_1,a_2 \rang,\cdots, a_n \rang \end{aligned} \]
順序組の相等
\[ (a_1,\cdots,a_n) = (b_1,\cdots,b_n) \equiv \bigwedge_i^n(a_i = b_i) \]
順序組の相等の導出： \( \begin{aligned} a_1 = a_2 &\equiv \lbrace a_1 \rbrace = \lbrace b_1 \rbrace \cr &\equiv \lbrace\lbrace a_1 \rbrace\rbrace = \lbrace\lbrace b_1 \rbrace\rbrace \cr a_1 = b_1 \land a_2 = b_2 &\equiv \lang a_1,a_2 \rang = \lang b_1,b_2 \rang \cr &\enspace\vdots \cr \bigwedge_i^n(a_i = b_i) &\equiv \lang\cdots\lang a_1,a_2 \rang,\cdots, a_n \rang = \lang\cdots\lang b_1,b_2 \rang,\cdots, b_n \rang \cr &\equiv (a_1,\cdots,a_n) = (b_1,\cdots,b_n) \cr \cr \therefore (a_1,\cdots,a_n) &= (b_1,\cdots,b_n) \equiv \bigwedge_i^n(a_i = b_i) \end{aligned} \)